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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] {a_n} [/mm] eine konvergente Folge mit [mm] a_n [/mm] < a für alle n. Man beweise: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n \le [/mm] a . |
Ich vermute, es lässt sich die Aufgabe als Beweis durch Widerspruch lösen. Dazu stelle ich die Annahme auf: Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] > a > [mm] a_n [/mm] . Wenn ich jetzt ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 finde, mit: [mm] \left|a_n - \limes_{n\rightarrow\infty}a_n\right| [/mm] > [mm] \epsilon [/mm] für alle n, dann sollte das genügen. Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] > [mm] a_n [/mm] ist, kann ich schreiben [mm] \left|a_n - \limes_{n\rightarrow\infty}a_n\right| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] , dann lässt sich leichter rechnen, ohne die Betragsstriche. Jetzt schaffe ich es nur nicht, das passende [mm] \epsilon [/mm] zu finden. Oder ist schon der Ansatz falsch?
Vielen Dank im Vorraus für jede Hilfe, zumal ich schon an den nächsten Aufgabe sitze, wo ich nicht weiterkomme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Genau das habe ich ja bereits angewandt, ich weiß nur nicht, wie ich weitermachen muss. Muss ich tatsächlich ein [mm] \epsilon [/mm] < $ [mm] \left|a_n - \limes_{n\rightarrow\infty}a_n\right| [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $ suchen, und wenn ja, wie stelle ich das an?
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Hiho,
wir haben bisher: $g := [mm] \lim_{n\to\infty} a_n$
[/mm]
Annahme: g > a
Mach dir mal folgendes klar: Nun existiert ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] so dass [mm] $g-\varepsilon [/mm] > a$
Nun weißt du aber für ausreichend große n was über die [mm] $a_n$ [/mm] in Bezug auf [mm] $g-\varepsilon$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mi 18.07.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Für genügend große n (alle n > [mm] N_\varepsilon) [/mm] folgt: [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] \left|a_n - \limes_{n\rightarrow\infty}a_n\right| [/mm] = [mm] \left|a_n - g\right| [/mm] = g - [mm] a_n [/mm] . Addition auf beiden Seiten von [mm] (a_n [/mm] - [mm] \varepsilon) [/mm] liefert [mm] a_n [/mm] > [mm] g-\varepsilon [/mm] > a, was im Widerspruch dazu steht, dass [mm] a_n [/mm] < a sein soll für alle n. Da die Annahme falsch ist, muss die Behauptung wahr sein.
Jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank!
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