Bew. ähn.Matr gleich char.Poly < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 14.05.2007 | | Autor: | AriR |
Hey Leute,
in dem Beweis, dass zwei ähnliche Matritzen A und B das selbe char Polynom haben taucht folgendes auf:
[mm] \chi_B=det(TE-S^-1AS)=det(S^-1(TE-A)S)=det(S^-1)*det(TE-A)*det(S)=det(TE-A)=\chi_A
[/mm]
irgendwie verstehe nich folgenden Schritt nicht und zwar:
det(TE-S^-1AS)=det(S^-1(TE-A)S)
warum kann man hier S und S^-1 ausklammern?
wenn dem so wäre, müsste ja S*TE*S^-1 =TE sein oder?
aber die MatrixMult ist ja nicht kommutativ, so dass man schreiben kann S*TE*S^-1 =TE*SS^-1=TE
wie kommt man da drauf?
wäre echt nett, wenn einer lust hat mir da zu helfen :)
Gruß Ari ;)
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> in dem Beweis, dass zwei ähnliche Matritzen A und B das
> selbe char Polynom haben taucht folgendes auf:
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> [mm]\chi_B=det(TE-S^-1AS)=det(S^-1(TE-A)S)=det(S^-1)*det(TE-A)*det(S)=det(TE-A)=\chi_A[/mm]
>
> irgendwie verstehe nich folgenden Schritt nicht und zwar:
>
> det(TE-S^-1AS)=det(S^-1(TE-A)S)
>
> warum kann man hier S und S^-1 ausklammern?
>
> wenn dem so wäre, müsste ja S*TE*S^-1 =TE sein oder?
>
> aber die MatrixMult ist ja nicht kommutativ, so dass man
> schreiben kann S*TE*S^-1 =TE*SS^-1=TE
>
Hallo,
Du hast recht, die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, nur, wie ich das sehe --- ist T gar keine Matrix! Sondern die Variable im charakteristischen Polynom. Besser wäre gewese, t zu schreiben.
Dein TE=T*Einheitsmatrix=Matrix mit lauter T auf der Hauptdiagonalen und ansonsten Nullen.
Wenn Dir das klar wird, verstehst Du die Rechnung.
det(tE-S^-1AS)=det(S^-1(tE-A)S)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 14.05.2007 | | Autor: | AriR |
das habe ich eigentlich wohl verstanden, nur ich sehe immer noch nicht genau, warum man das S und [mm] S^{-1} [/mm] rausziehen darf? sieht aus wie das Distributiv gesetz, nur um das anwende zu dürfen, müsste ja [mm] S^{-1}*TE*S =TE*S^{-1}S
[/mm]
und das gilt ja nur, wenn die matrixMult kommutativ ist.
weißt du ca was ich meine?
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Hallo AriR!
> das habe ich eigentlich wohl verstanden, nur ich sehe immer
> noch nicht genau, warum man das S und [mm]S^{-1}[/mm] rausziehen
> darf?
Könnte die Multiplikation einer Matrix mit einer Diagonalmatrix doch kommutativ sein? Probiers mal rechnerisch aus.
LG
Karsten
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Sorry, hab mich vertan. Die Kommutativität ist i.a. nicht gegeben.
LG
Karsten
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:36 Mo 14.05.2007 | | Autor: | AriR |
irgendwie bekomme ich da folgendes raus:
Sei A eine diag. Matrix und B beliebig
dann sei A*B=C
mit [mm] c_{i,j}=\summe a_{i,j}*b{j,k} [/mm] =(A diag) [mm] a_{i,i}*b{i,k}
[/mm]
und sei B*A=C'
mit [mm] c'_{i,j}=\summe b_{i,j}*a_{j,k}=b{i,k}*a{k,k}
[/mm]
leider ist jetzt [mm] C\not= [/mm] C'
weil c'_{i,j}=b{i,k}*a{k,k} und leider nicht
c'_{i,j}==b{i,k}*a{i,i}
hab ich mich irgendwo verrechnet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Mo 14.05.2007 | | Autor: | AriR |
dann hat sich das erledigt :D
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> das habe ich eigentlich wohl verstanden, nur ich sehe immer
> noch nicht genau, warum man das S und [mm]S^{-1}[/mm] rausziehen
> darf? sieht aus wie das Distributiv gesetz, nur um das
> anwende zu dürfen, müsste ja [mm]S^{-1}*TE*S =TE*S^{-1}S[/mm]
>
> und das gilt ja nur, wenn die matrixMult kommutativ ist.
>
> weißt du ca was ich meine?
Ich glaube ja.
Guck:
[mm] S^{-1}*tE*S =tS^{-1}*E*S=tS^{-1}*S [/mm] (denn E ist die Einheitsmatrix)
=tE.
Du mußt also nichts vertauschen - abgesehen davon, daß Du es mit der Einheitsmatrix E ruhig machen könntest.
Gruß v. Angela
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