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| Aufgabe | Die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist durch eine rekursive Beschreibung gegeben.Berechnen Sie die ersten acht Folgenglieder.Zeigen Sie mir vollständiger Induktion, dass die Folge beschränkt ist.Beweisen Sie damit die Monotonie der Folge und ermitteln Sie dann den Grenzwert.
a) [mm] a_{1} [/mm] = -2 und [mm] a_{n}= \bruch{1}{3}a_{n-1}+3 [/mm] |
Hallo erst einmal! Ich hoffe jemand kann mir helfen. habe schwierigkeiten damit!
danke im voraus!
Gruß von Cold.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 So 04.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo!
Hier ein paar Hinweise, wie du da rangehen solltest:
Zuerst einmal rechne diese acht Folgenglieder aus. Dann siehst du, dass die [mm]a_n[/mm] scheinbar gegen einen bestimmten Wert streben -- dieser Wert sei [mm]m[/mm].
Für die vollständige Induktion sollst du zeigen, dass die Folge beschränkt ist, dass also gilt:
[mm]a_n < m[/mm]
Das ist deine Induktionsbehauptung. Den Induktionsanfang hast du vorher schon gemacht, bzw. ist hier sowieso schon vorgegeben, d.h. du musst nun noch zeigen, dass
[mm]a_n \to a_{n+1}[/mm] ... dass also unter der Annahme, die Induktionsbehauptung sei richtig für [mm]a_n[/mm], sie auch für [mm]a_{n+1}[/mm] gilt.
[mm]a_{n+1} = \bruch{1}{3}*a_n + 3 < \bruch{1}{3}*m + 3 = \ldots [/mm]
Um die Monotonie zu zeigen, musst du zeigen, dass
[mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} > 1[/mm] ([mm]\ge[/mm] würde im Grunde auch reichen ...)
Dazu setzt du für [mm]a_{n+1}[/mm] wie oben die Definition ein und nutzt dann aus, was du über [mm]a_n[/mm] durch Induktion rausgefunden hast.
Den Grenzwert auszurechnen sollte dann nicht weiter schwierig sein ...
Gruß,
Carsten
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:25 So 04.02.2007 | | Autor: | ColdNLoco |
soweit so gut . habs glaub im prinzip verstanden. könntest du vielleicht mal die ersten acht glieder mal kurz ausrechnen und hier reinposten? hab da komische zahlen, sehr große zahlen!
Danke!
Gruß von Cold.
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Hallo ColdNLoco,
> soweit so gut . habs glaub im prinzip verstanden. könntest
> du vielleicht mal die ersten acht glieder mal kurz
> ausrechnen und hier reinposten? hab da komische zahlen,
> sehr große zahlen!
> Danke!
dann verrat du uns deine Rechnung, damit wir erkennen können, wo's bei dir hakt.
Gruß informix
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[mm] a_{1}= [/mm] -2 war ja angegeben
[mm] a_{2}= \bruch{7}{3}
[/mm]
[mm] a_{3}= \bruch{34}{9}
[/mm]
[mm] a_{4}= \bruch{115}{27}
[/mm]
[mm] a_{5}= \bruch{358}{81}
[/mm]
[mm] a_{6}= \bruch{1087}{243}
[/mm]
[mm] a_{7}= \bruch{3274}{729}
[/mm]
[mm] a_{8}= \bruch{9835}{2187}
[/mm]
so das sind die ersten 8 folgenglieder bei mir! stimmen die jetzt, weil sonst brauch ich ja nicht weiterzumachen...
Gruß, Cold.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 So 04.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo!
> [mm]a_{1}=[/mm] -2 war ja angegeben
> [mm]a_{2}= \bruch{7}{3}[/mm]
> [mm]a_{3}= \bruch{34}{9}[/mm]
> [mm]a_{4}= \bruch{115}{27}[/mm]
>
> [mm]a_{5}= \bruch{358}{81}[/mm]
> [mm]a_{6}= \bruch{1087}{243}[/mm]
> [mm]a_{7}= \bruch{3274}{729}[/mm]
>
> [mm]a_{8}= \bruch{9835}{2187}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt schnapp dir mal nen Taschenrechner und rechne die Brüche aus ...
Was könnte das [mm]m[/mm] sein?
Gruß,
Carsten
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also jetzt meine lösung:
Behauptung: die folge ist beschränkt mir [mm] -2\le a_{n}\le4,5
[/mm]
vollst. Induktion: 1.) Ind.anfang: für n=1 -> wahre aussage
2.) Ind.schritt: Es sei [mm] k\in\IN [/mm] und man nimmt an,dass die
Aussage für k gilt.
[mm] -2\le a_{k}\le4,5 [/mm]
dann ist [mm] a_{k}=\bruch{1}{3} a_{k-1}+3 \ge [/mm] 3
und
[mm] a_{k}= \bruch{1}{3} a_{k-1}+3 \le \bruch{1}{3}*4,5+3=4,5 [/mm]
Somit gilt die Aussage auch für k+1 (k-1 ?).
Damit ist gezeigtg, dass die Aissage für alle [mm] n\in\IN [/mm] wahr ist.
Jetzt die Monotonie:Vermutung: streng monoton wachsend ?
1.) Ind.anfang: für n=1 -> wahre Aussage, denn: [mm] a_{1}=-2 [/mm] < [mm] a_{2}=7/3
[/mm]
2.) Ind.schritt: Es sei [mm] k\in\IN [/mm] und man nimmt an, dass die Aussage für k gilt.
es muss gelten: [mm] a_{k+1} [/mm] > [mm] a_{k}
[/mm]
es muss gezeigt werden: [mm] a_{k+2} [/mm] > [mm] a_{k+1}
[/mm]
also
[mm] a_{k+2}= \bruch{1}{3}a_{k+1}+3 [/mm] > [mm] \bruch{1}{3}a_{k}+3=a_{k+1}
[/mm]
die aussage gilt für k+1
Grenzwert: [mm] a_{n}=\bruch{1}{3}a_{n-1}+3
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{3}a_{n-1}+3)
[/mm]
g= [mm] \bruch{1}{3}g+3
[/mm]
so hier komm ich nicht mehr weiter , weil ich dieses eine g nicht wegbekomme :( oder aber der grenzwert ex, nicht, deshalb nicht lösbar??
aber stimmt der rest ? beschränktheit, monotonie??
Gruß ,Cold.
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> also jetzt meine lösung:
>
> Behauptung: die folge ist beschränkt mir [mm]-2\le a_{n}\le4,5[/mm]
Hallo,
es interessiert hier nur die obere Schranke, denn die ist es, die Du schließlich für Deine Argumentation benötigst.
Du willst ja zeigen "monoton wachsend und nach oben beschränkt" und daraus schließen: "Also existiert ein Grenzwert".
>
> vollst. Induktion: 1.) Ind.anfang: für n=1 -> wahre
> aussage,
denn -2< 4,5
> 2.) Ind.schritt: Es sei
> [mm]k\in\IN[/mm] und man nimmt an,dass die
> Aussage für k gilt.
Genau, daß also
[mm] a_{k}\le4,5 [/mm] für alle k.
Nun willst Du ja zeigen, daß unter deisen Umständen die Aussage auch für [mm] a_{k+1} [/mm] gilt, also daß
[mm] a_{k+1}<4,5 [/mm] gilt für alle k.
Du mußt also [mm] a_{k+1} [/mm] ins Spiel bringen:
[mm] a_{k+1}= [/mm] ... (Wie kann man [mm] a_{k+1} [/mm] durch [mm] a_k [/mm] beschreiben?)
<... (wie kannst Du [mm] a_k [/mm] abschätzen? Du mußt die Voraussetzung verwenden!)
Wenn Du hier (auf korrekte Weise) am Ende 4.5 stehen hast, ist die Behauptung gezeigt.
>
> Jetzt die Monotonie:Vermutung: streng monoton wachsend ?
> 1.) Ind.anfang: für n=1 -> wahre Aussage, denn: [mm]a_{1}=-2[/mm] <
> [mm]a_{2}=7/3[/mm]
>
> 2.) Ind.schritt: Es sei [mm]k\in\IN[/mm] und man nimmt an, dass die
> Aussage für k gilt.
es gelte: [mm]a_{k+1}[/mm] > [mm]a_{k}[/mm]
> es muss gezeigt werden: [mm]a_{k+2}[/mm] > [mm]a_{k+1}[/mm]
Richtig.
> also
> [mm] a_{k+2}= \bruch{1}{3}a_{k+1}+3 [/mm] > [mm] \bruch{1}{3}a_{k}+3
[/mm]
(nach Induktionsvoraussetzung)
> [mm] =a_{k+1}
[/mm]
> die aussage gilt für k+1
>
>
> Grenzwert: [mm]a_{n}=\bruch{1}{3}a_{n-1}+3[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{3}a_{n-1}+3)[/mm]
>
>
> g= [mm]\bruch{1}{3}g+3[/mm]
>
>
>
> so hier komm ich nicht mehr weiter , weil ich dieses eine g
> nicht wegbekomme
Das ist ja hoffentlich nur ein kleines Späßchen von Dir...
Subtrahiere [mm] \bruch{1}{3}g!
[/mm]
Gruß v. Angela
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