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Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Man hat ein Kreissegment, welches als Sprengler fungiert (90°-Öffnung). Das Wasser verlässt das Segment mit gleicher Geschwindigkeit. Man soll eine Funktion, [mm] $f(\alpha) \sim \rho(\alpha)$ [/mm] für die Lochdichte angeben, damit die umliegende Fläche gleichmäßig bewässert wird.
Lösung: [mm] $f(\alpha)= \frac{\sin 4\alpha}{4 sin \alpha}$
[/mm]
Leider habe ich gar keinen wirklichen Ansatz für diese Aufgabe. ^^ Die Aufgabe ist aus keinem laufenden Wettbewerb.
Mit freundlichem Gruß,
David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 16.01.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich verstehe die Aufgabe noch nicht. Du meinst wahrscheinlich einen Sprenger. Wie ist der aufgebaut? Ein Rohr mit Löchern? Wie steht der 90°-Bogen zur Horizontalen? Eine Skizze würde mir sehr halfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 16.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Loecher gleichmaesig auf einem Kreisbogen verteilt sind wird das gelaende richtig bewaessert. also zeichne das auf undprojizier es auf das gerade Stueck aus dem wohl gespritzt wird.
Gruss leduart
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Hallo,
sry, dass ich lange nicht mehr reinschauen konnte. Im Anhang habe ich mal die Aufgabe im Original angehangen.
@Leduart: Ich versteh nicht ganz, was du meinst mit projizieren und gleichmäßiger Verteilung? Bei gleichmäßiger Verteilung wäre die Lochdichte doch konstant, oder?
Mit freundlichem Gruß,
David
Link zur Aufgabensammlung. S.8:
![[]](/images/popup.gif) Aufgabensammlung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 So 20.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
vergiß meine Antwort, die ging nicht von der richtigen Aufgabe- Kugelsegment- nicht Kreissegment aus.
Gruss leduart
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Also dürfte ich nicht einfach den Querschnitt betrachten? Denn so hatte ich mir die erste Vereinfachung gedacht. ^^
Mit freundlichem Gruß,
David Stein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 20.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst mal brauchst du natürlich Wurfparabeln. welcher Radius r wird von einem Strahl unter [mm] \alpha [/mm] erreicht_ Dann wenn ich [mm] \alpha [/mm] um [mm] d\alpha [/mm] aendere welcher Kreisring der Breite dr.
dann von welchem Kreis auf deiner Kugeloberflaeche kommt die Berieselung dieser Flaeche. und die Flaechen die von einem solchen Kreis mit [mm] d\alpha [/mm] bewaessert werden muessen alle dieselbe Flaeche haben. Jetzt ist das schon ein schoener Ansatz, wweiter musst du machen.
Gruss leduart
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Okay, ich habe nun folgenden Lösungsweg:
Die Gleichungen für den Wurf sind:
[mm] $y=-\frac{g}{2} t^2+v_0 [/mm] t cos [mm] \alpha=0$
[/mm]
$x= [mm] v_0 [/mm] t sin [mm] \alpha$
[/mm]
Daraus ergibt sich:
$x= [mm] \frac{v_0^2 sin 2\alpha}{g}$
[/mm]
bzw.:
[mm] $\frac{dx}{d\alpha}= \frac{v_0^2 \cdot 2 cos 2\alpha}{g}$
[/mm]
Die bewässerte Fläche ist
[mm] $dA_x [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] x dx = [mm] \frac{2\pi v_0^4 sin 4\alpha}{g^2} [/mm] d [mm] \alpha$
[/mm]
Die Fläche auf dem Sprenger, die diese Fläche bewässert ist gegeben durch:
[mm] $dA_r= 2\pi R^2 [/mm] sin [mm] \alpha d\alpha$
[/mm]
Die Funktion
[mm] $g(\alpha)= f(\alpha)\cdot dA_r= 2\pi R^2 [/mm] sin [mm] \alpha \cdot f(\alpha) d\alpha$
[/mm]
ist dann ein Maß für das Wasser, dass auf die Fläche [mm] $dA_x$ [/mm] trifft.
Der Quotient
[mm] $\frac{dg}{dA_x}= C_1 \cdot \frac{sin \alpha}{sin 4\alpha}\cdot f(\alpha)= [/mm] const.$
Damit ergibt sich für [mm] $f(\alpha)= \frac{sin 4\alpha}{sin \alpha}$ [/mm]
bzw. noch mit irgendeiner Konstanten multipliziert. Das weicht zwar vom genannten Ergebnis ab, aber in der Aufgabe steht ja, man soll eine proportionale Funktion angeben zur Lochdichte. Dann sind die Lösungen ja gleichwertig. Für offengelegte Mängel oder Fehler wäre ich sehr dankbar.
Mit freundlichem Gruß,
David
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