Bewegung eines Gleiters < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Ein Gleiter der Masse 400 g erfährt eine dreidimensionale Beschleunigung [mm] a_{x}=2 [/mm] , [mm] a_{y}= [/mm] −1 , [mm] a_{z}=5 [/mm] . Zum Zeitnullpunkt hat er bereits 2 m in x-Richtung und 1,5 m in y-Richtung zurückgelegt. Zusätzlich hat er eine Anfangsgeschwindigkeit von 1,8 [mm] \bruch{m}{s} [/mm] in y-Richtung. Stellen Sie die Bewegungsgesetze (Orts-Zeit-Gesetz,
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und Beschleunigungs-Zeit-Gesetz) auf und berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der
Gleiter auf eine Geschwindigkeit des Betrags 10 [mm] \bruch{m}{s} [/mm] beschleunigt wurde. |
Hallo!
Ich wollte mal schauen, ob mein Lösungsansatz soweit in Ordnung ist.
Es gilt:
Orts-Zeit-Gesetz:
$ [mm] \vec{r(t)}=\bruch{1}{2}*\vec{a}*t^{2}+\vec{v_{0}}*t+\vec{r_{0}} [/mm] $
$ [mm] \vec{r(t)}=\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ -1 \\ 5}*t^{2}+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0}*t+\vektor{2 \\ 0 \\ 1,5} [/mm] $
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
$ [mm] \bruch{d}{dt}\vec{r(t)}=\vec{v(t)}=\vektor{2 \\ -1 \\ 5}*t+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0} [/mm] $
Beschleunigungs-Zeit-Gesetz:
$ [mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}}\vec{r(t)}=\bruch{d}{dt}\vec{v(t)}=\vec{a(t)}=\vektor{2 \\ -1 \\ 5} [/mm] $
Es sei:
$ [mm] \left|\vec{v(t)}\right|=10\bruch{m}{s} [/mm] = [mm] \left|\vektor{2 \\ -1 \\ 5}*t+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0}\right|=\wurzel{4t^{2}+t^{2}-3,6t+3,24+25t^{2}}=\wurzel{30t^{2}-3,6t+3,24} [/mm] $
$ [mm] \gdw \cdots \gdw t=\bruch{3}{50}\pm \wurzel{\bruch{1717}{7500}} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow t_{1}=0,54 \wedge t_{2}=-0,42 [/mm] $
Einheiten habe ich hier mal weggelassen, da sie nicht notwendig sind und es nur unübersichtlicher machen würden. Und natürlich gehe ich von gleichmäßiger Beschleunigung aus, sonst müsste man dass natürlich noch etwas spezieller betrachten.
Gruß
Ardbeg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Mo 07.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein Gleiter der Masse 400 g erfährt eine dreidimensionale
> Beschleunigung [mm]a_{x}=2[/mm] , [mm]a_{y}=[/mm] −1 , [mm]a_{z}=5[/mm] . Zum
> Zeitnullpunkt hat er bereits 2 m in x-Richtung und 1,5 m in
> y-Richtung zurückgelegt. Zusätzlich hat er eine
> Anfangsgeschwindigkeit von 1,8 [mm]\bruch{m}{s}[/mm] in
> y-Richtung. Stellen Sie die Bewegungsgesetze
> (Orts-Zeit-Gesetz,
> Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und
> Beschleunigungs-Zeit-Gesetz) auf und berechnen Sie den
> Zeitpunkt, zu dem der
> Gleiter auf eine Geschwindigkeit des Betrags 10
> [mm]\bruch{m}{s}[/mm] beschleunigt wurde.
> Hallo!
>
> Ich wollte mal schauen, ob mein Lösungsansatz soweit in
> Ordnung ist.
>
> Es gilt:
>
> Orts-Zeit-Gesetz:
>
> [mm]\vec{r(t)}=\bruch{1}{2}*\vec{a}*t^{2}+\vec{v_{0}}*t+\vec{r_{0}}[/mm]
>
> [mm]\vec{r(t)}=\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ -1 \\ 5}*t^{2}+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0}*t+\vektor{2 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
Das sieht gut aus. Evtl könntest du die [mm] \frac{1}{2} [/mm] noch in den ersten Vektor ziehen.
>
> Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
>
> [mm]\bruch{d}{dt}\vec{r(t)}=\vec{v(t)}=\vektor{2 \\ -1 \\ 5}*t+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier würde ich den ersten Teil "weglasssen", denn die Ableitung der Vektoriell definierten Funktion ist eigentlich anders zu bilden. Sicher würde dann im Endeffekt dasselbe herauskommen, aber es könnte missverstanden werden.
Also besser:
v(t)=a\cdot t+v_{0}
und damit
\vec{v}_{t}=\vektor{2\\-1\\5}\cdot t+\vektor(0\\1,8\\0}
>
> Beschleunigungs-Zeit-Gesetz:
>
> [mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}}\vec{r(t)}=\bruch{d}{dt}\vec{v(t)}=\vec{a(t)}=\vektor{2 \\ -1 \\ 5}[/mm]
Das ist soweit okay, aber auch hier ist die Notation unglücklich.
>
> Es sei:
>
> [mm]\left|\vec{v(t)}\right|=10\bruch{m}{s} = \left|\vektor{2 \\ -1 \\ 5}*t+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0}\right|=\wurzel{4t^{2}+t^{2}-3,6t+3,24+25t^{2}}=\wurzel{30t^{2}-3,6t+3,24}[/mm]
>
> [mm]\gdw \cdots \gdw t=\bruch{3}{50}\pm \wurzel{\bruch{1717}{7500}}[/mm]
>
> [mm]%5CRightarrow%20t_%7B1%7D%3D0%2C54%20%5Cwedge%20t_%7B2%7D%3D-0%2C42[/mm]
Ich komme auf andere Werte, außerdem passt die Notation mit den Äquivalenzpfeilen so nicht ganz. Zusätzlich solltest du dir Gedanken über die Lösungen im Sachzusammenhang machen, t ist eine Zeit.
Die Gleichungskette [mm] $\left|\vec{v(t)}\right|=10\bruch{m}{s} [/mm] = [mm] \left|\vektor{2 \\ -1 \\ 5}\cdot{}t+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0}\right|=\wurzel{4t^{2}+t^{2}-3,6t+3,24+25t^{2}}=\wurzel{30t^{2}-3,6t+3,24}$ [/mm] ist si sicher falsch, die 10m/s² gehören dort noch nicht herein
Korrekt wäre:
[mm] $\left|\vec{v(t)}\right|=\left|\vektor{2 \\ -1 \\ 5}\cdot{}t+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0}\right|=\wurzel{4t^{2}+t^{2}-3,6t+3,24+25t^{2}}=\wurzel{30t^{2}-3,6t+3,24}$
[/mm]
Nun suchst du das t, für das [mm] \left|\vec{v(t)}\right|=10, [/mm] also für das [mm] \sqrt{30t^{2}-3,6t+3,24}=10
[/mm]
[mm] \sqrt{30t^{2}-3,6t+3,24}=10
[/mm]
Quadrieren (Achtung, das ist keine Äquivalenzumformung)
[mm] \Rightarrow 30t^{2}-3,6t+3,24=100
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 30t^{2}-3,6t-96,76=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow t^{2}-\frac{3}{25}t-\frac{2419}{750}=0
[/mm]
Nun kommt die p-q-Formel zum Zug, das ist dann ebenfalls keine Äquivalenzumformung, sondern nur eine Folgerung
[mm] \Rightarrow t_{1,2}=\frac{3}{50}\pm\sqrt{\left(-\frac{3}{50}\right)^{2}+\frac{2419}{750}}=\frac{3}{50}\pm\sqrt{\frac{9}{2500}+\frac{2419}{750}}=\frac{3}{50}\pm\sqrt{\frac{27}{7500}+\frac{24190}{7500}}
[/mm]
[mm] =\frac{3}{50}\pm\sqrt{\frac{24217}{7500}}
[/mm]
Und damt komme ich auf
[mm] t_{1}=\frac{3}{50}-\sqrt{\frac{24217}{7500}}\approx-1,73
[/mm]
und
[mm] t_{2}=\frac{3}{50}+\sqrt{\frac{24217}{7500}}\approx1,85
[/mm]
>
> Einheiten habe ich hier mal weggelassen, da sie nicht
> notwendig sind und es nur unübersichtlicher machen
> würden. Und natürlich gehe ich von gleichmäßiger
> Beschleunigung aus, sonst müsste man dass natürlich noch
> etwas spezieller betrachten.
>
> Gruß
> Ardbeg
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Danke erst einmal für die Hilfe.
Die Notationen sehe ich ehrlich gesagt im Moment nicht gerade als fehlerhaft an, da ich mich da an andere Quellen angelehnt habe. Sicher lassen sich diese auch anders notieren, sollten so aber verständlich und sinngemäß definiert sein. Meins Wissens zumindest.
Bei der Gleichungskette gehe ich direkt schon von der Bedingung aus. Daher schreibe ich vorher auch, "Es sei:" um für diesen bestimmten Fall die Gleichung zu formulieren. Vielleicht wäre es aber wirklich besser, wenn ich es erst später einsetze.
Beim Quadrieren hast du natürlich recht, dort hätte keine Äquivalenz hinkommen sollen.
Und stimmt, beim Ergebnis habe ich einen kleinen Fehler gemacht, es kommt [mm] t_{1}=1,86 [/mm] und [mm] t_{2}=1,74 [/mm] raus.
Natürlich weiß ich, dass ich auf den Sachzusammenhang achten muss, wollte nur erst einmal die Rechnung überprüft haben.
Nochmals danke für deine Mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 07.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke erst einmal für die Hilfe.
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> Die Notationen sehe ich ehrlich gesagt im Moment nicht
> gerade als fehlerhaft an, da ich mich da an andere Quellen
> angelehnt habe. Sicher lassen sich diese auch anders
> notieren, sollten so aber verständlich und sinngemäß
> definiert sein. Meins Wissens zumindest.
Ich finde, dass man - gerade im Mathestudium - durchaus am Anfang sehr exakt und bewusst notieren sollte. Das macht das ganze dann am Ende einfacher.
>
> Bei der Gleichungskette gehe ich direkt schon von der
> Bedingung aus. Daher schreibe ich vorher auch, "Es sei:" um
> für diesen bestimmten Fall die Gleichung zu formulieren.
> Vielleicht wäre es aber wirklich besser, wenn ich es erst
> später einsetze.
Ich würde zumindest die Umformungen von der eigentlichen Berechnung des "Aufgabenfalles" deutlicher trennen.
>
> Beim Quadrieren hast du natürlich recht, dort hätte keine
> Äquivalenz hinkommen sollen.
Das ist leider ein klassischer Fehler.
>
> Und stimmt, beim Ergebnis habe ich einen kleinen Fehler
> gemacht, es kommt [mm]t_{1}=1,86[/mm] und [mm]t_{2}=1,74[/mm] raus.
>
> Natürlich weiß ich, dass ich auf den Sachzusammenhang
> achten muss, wollte nur erst einmal die Rechnung
> überprüft haben.
>
> Nochmals danke für deine Mühe!
Kein Problem.
Marius
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Hallo!
ich sehe da noch einen Fehler, der aber nicht gravierend ist:
> Zeitnullpunkt hat er bereits 2 m in x-Richtung und 1,5 m in
> y-Richtung zurückgelegt. Zusätzlich hat er eine
> [mm]\vec{r(t)}=\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ -1 \\ 5}*t^{2}+\vektor{0 \\ 1,8 \\ 0}*t+\vektor{2 \\ 0 \\ \red{1,5}}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Sorry, war nur ein Tippfehler. Sollte in der Aufgabenstellung z-Richtung heißen und nicht y-Richtung.
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