Bewegung im (1-dim.) Potential < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie lange dauert die Bewegung eines Teilchens vom Ort [mm] x_{1}=0 [/mm] mit Anfangsgeschwindigkeit v=0 zum Ort [mm] x_{2}=L [/mm] im eindimensionalen Potential V(x) = [mm] -|x|^{\alpha}, [/mm] wobei [mm] \alpha<2. [/mm] Was passiert bei [mm] \alpha \ge [/mm] 2? |
Hallo ihr lieben!
Also irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch :)
Ich habe mir bisher überlegt, dass es vllt ganz sinnvoll wäre das Kraftfeld -grad(V) zu benutzen. Das ist dann einfach nur die (1-dim.) Ableitung von V, wenn ich das richtig sehe. Und da x in unserem Beispiel nur positiv ist, gilt also
F = - grad( V(x) ) = [mm] \alpha*x^{\alpha-1}
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt an die Zeit heran?
Ich könnte F nach t integrieren und hätte dann den Impuls
p = t * [mm] \alpha*x^{\alpha-1}
[/mm]
Aber irgendwie sieht das weder richtig noch hilfreich aus...
Wäre also super, wenn mir jemand helfen könnte!
Liebe Grüße,
Eure
Laura
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Hallo!
Wie du gemerkt hast, steckt da noch irgendwie eine Masse drin. Eigentlich liefert dir der Gradient nur ein Feld, die Kraft ergibt sich dann durch Multiplikation mit der Masse des Teilchens. oder in der E-Dynamik durch Multiplikation mit der Ladung. Da kommt es auch auf eure Konventionen an.
Aber diese Masse wirst du auf deine Art nicht los. probier daher den Energiesatz:
[mm] \frac{1}{2}mv^2=m*V(x)
[/mm]
Ich habe da die Masse mal explizit an das Potential gehängt. Du siehst, die fällt raus.
Dann kannst du das integrieren, sagt dir dazu Trennung der Variablen was?
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Hallo Event_Horizon!
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe :)
Leider habe ich aber noch nicht ganz verstanden was du meinst:
Also im Energiesatz ist das ja auch v(x) und nicht nur v, oder? D.h. ich integriere dann [mm] \frac{1}{2}v(x)^2=V(x) [/mm] über x von 0 bis L?
Wenn ich das auf beiden Seiten mache, dann erhalte ich ja nicht einfach [mm] \frac{1}{6}v(x)^3 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}V(x)^2 [/mm] , denn das sind ja Funktionen und keine einfachen Variablen.
Rechts steht dann also das Integral von V(x) von 0 bis L. V ist gegeben, also kann man das ausrechnen.
Was ist dann aber mit der linken Seite? Wie integriere ich [mm] v(x)^2? [/mm] Partielle Integration liefert da keine schönen/brauchbare Terme, das scheint also auch nicht der Weg zu sein. Ich hätte da ja dann auch die dv/dx stehen, das bringt ja nichts (im Vergleich zu dv/dt oder sowas), oder?
Trennung der Variablen hab ich schonmal gehört, allerdings nur im Zusammenhang mit Differentialgleichungen. Das hier ist aber keine, oder?
Liebe Grüße,
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest doch v=dx/dt kennen, du hast also ne Dgl für x(t) und zur Lösung hat die EH schon einen Tip gegeben
(im ersten post hast du schreckliches getan: x(t) nach t integriert ist sicher nicht x(t)*t)
Bei Fragen nach s(t) wirst du eigentlich immer auf Dgl stoßen!
Gruss leduart
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Hallo leduart,
vielen Dank für deine Hilfe. Wie man sieht hängt es bei DGLen noch bei mir.
Den Ansatz mit den getrennten Variablen habe ich dank Wikipedia zwar nun verstanden, aber ich schaffe es noch nicht hier die richtige Gleichung aufzustellen.
Zwar ist das mit dem Energiesatz klar, aber wie komme ich dann weiter, wenn ich links $ [mm] \frac{1}{2}(\frac{ds}{dt})^2 [/mm] $ habe? Auf der rechten Seite habe ich ja auch nur das Integral über V(x) stehen, und das ist ja einfach eine reelle Zahl (die Grenzen sind ja gegeben). Bis zu einer Form, mit der ich die Trennungs-Methode anwenden kann, komme ich gar nicht :(
Wäre super, wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
Liebe Grüße,
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 02.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch s'^2=2*V(x) also [mm] s'=\wurzel{2V(x)}: [/mm] V(x) einsetzen, dann die Dgl losen. rechts steht doch kein integral über V? was sagt denn der Energiesatz? in jedem moment sind die Summe von pot und kin. Energie konstant= dem Wert bei t=0
Gruss leduart
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