Beweis-Frage-Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 09.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Teilstück einer Aufgabe für Lipschitzstetig:
Zeige:
[mm] \frac{|y+x|}{(1+x^2)*(1+y^2)} \le [/mm] 1
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo.Ich hab eine Frage:
[mm] |y+x|\le 1+y^2+x^2+x^2 y^2
[/mm]
Hab ich das so schon bewiesen, dass es gilt, weil Quadrate immer Positiv sind? Oder muss ich da noch mehr zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Cassipaya |
Die Beträge sind aber auch immer Positiv... und was ist z.B. mit 0<x,y<1, dann ist das Quadrat ja kleiner als die Zahl selber...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mo 09.01.2012 | | Autor: | sissile |
mhm Ja .
$ [mm] \frac{|y+x|}{(1+x^2)\cdot{}(1+y^2)} \le [/mm] $ L
$ [mm] \forall [/mm] $ x,y $ [mm] \in \IR [/mm] $
Eigentliche aufgabe ist ja , ich muss ein L>0 finden dass es gilt [mm] \forall [/mm] x und y [mm] \in \IR. [/mm]
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo
> mhm Ja .
> [mm]\frac{|y+x|}{(1+x^2)\cdot{}(1+y^2)} \le[/mm] L
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IR[/mm]
> Eigentliche aufgabe ist ja , ich muss
> ein L>0 finden dass es gilt [mm]\forall[/mm] x und y [mm]\in \IR.[/mm]
>
> LG
in meiner anderen Antwort steht ein Link, hier schreibe ich dafür die Abschätzung ein wenig ausführlicher:
[mm] $$\frac{|y+x|}{(1+x^2)\cdot{}(1+y^2)} \le \frac{|x|}{(1+x^2)\cdot{}(1+y^2)}+\frac{|y|}{(1+x^2)\cdot{}(1+y^2)} \le \frac{|x|}{(1+y^2)}+\frac{|y|}{(1+x^2)\cdot{}(1+y^2)} \le \frac{|x|}{(1+x^2)} +\frac{|y|}{(1+y^2)}\,.$$
[/mm]
Nun kann man zeigen, dass [mm] $|r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2$ für alle $r [mm] \in \IR\,.$ [/mm]
Um dies einzusehen, zwei Vorschläge:
1. Vorschlag: Wie kann man das mithilfe der Funktion $x [mm] \mapsto x/(1+x^2)$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 0$) zeigen?
2. Vorschlag: Beginne mit [mm] $(|r|-1)^2 \ge [/mm] 0$ und folgere daraus die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Teilstück einer Aufgabe für Lipschitzstetig:
> Zeige:
> [mm]\frac{|y+x|}{(1+x^2)*(1+y^2)} \le[/mm] 1
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IR[/mm]
es gilt wegen [mm] $\Delta$-Ungleichung
[/mm]
[mm] $$\frac{|x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)} \le \frac{|x|}{1+x^2}+\frac{|y|}{1+y^2}\,.$$
[/mm]
Zeige:
[mm] $$|r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2$$
für alle $r [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
P.S.:
Du kannst gerne auch hier [mm] ($\leftarrow$ klick it!) weiterlesen!
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 09.01.2012 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] \Delta [/mm] $-Ungleichung
Hallo, die Ungleichung ist mir noch nicht untergekommen. Wo kann ich am besten nachschlagen?
EDIT: AH, nachricht gelesen!
> Zeige:
$ [mm] |r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2 $
für alle $ r [mm] \in \IR\,. [/mm] $
Hier nimmt du dir ja einen Term von den Zweien. [mm] (\frac{|x|}{1+x^2}+\frac{|y|}{1+y^2}) [/mm]
Es muss doch nicht der erste und der zweite Term kleiner-gleich als 1/2 sein. Es kann doch auch sein (rein hypotetisch), der erste kleiner-gleich als 3/4 und der zweite kleinergleich als 1/4 ist?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]\Delta [/mm]-Ungleichung
> Hallo, die Ungleichung ist mir noch
> nicht untergekommen. Wo kann ich am besten nachschlagen?
in einer Deiner ersten Vorlesungen  [mm] ($\Delta$ [/mm] bedeutet hier nur: Dreieck!  )
> EDIT: AH, nachricht gelesen!
Okay
> > Zeige:
>
> [mm]|r|/(1+r^2) \le 1/2[/mm]
>
>
> für alle [mm]r \in \IR\,.[/mm]
> Hier nimmt du dir ja einen Term von
> den Zweien. [mm](\frac{|x|}{1+x^2}+\frac{|y|}{1+y^2})[/mm]
Eigentlich nicht. Da steht prinzipiell der gleiche Bruch, nur mit einer anderen Variablenbezeichnung.
> Es muss doch nicht der erste und der zweite Term
> kleiner-gleich als 1/2 sein. Es kann doch auch sein (rein
> hypotetisch), der erste kleiner-gleich als 3/4 und der
> zweite kleinergleich als 1/4 ist?
Nein. Du wirst nur sagen können, dass
$$0 [mm] \le |x|/(1+x)^2 \le [/mm] 1/2$$
und
$$0 [mm] \le |y|/(1+y^2) \le [/mm] 1/2$$
ist.
(Für [mm] $x=\pm 1\,$ [/mm] geht die erste Ungleichung in Gleichheit über, ebenso natürlich die zweite für [mm] $y=\pm 1\,.$ [/mm] "Der zweite" wird i.a. nicht [mm] $\le [/mm] 1/4$ sein. Das, was Du eigentlich sagen willst, ist, dass es "hypothetisch gut" wäre, wenn gelten würde: Erster Bruch [mm] $\le [/mm] z$ mit einer Zahl $0 < z < [mm] 1\,,$ [/mm] dann zweiter Bruch [mm] $\le 1-z\,.$ [/mm] So wird das hier aber nicht sein! Sondern: beide Brüche sind [mm] $\le 0.5\,,$ [/mm] daher ist ihre Summe [mm] $\le 1\,.$)
[/mm]
Dafür mußt Du aber erstmal
[mm] $$|r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2$$
(für alle $r [mm] \in \IR$) [/mm] wissen, bzw. besser: beweisen!
Dann reicht uns das, denn insgesamt werden wir sehen:
[mm] $$\frac{|y+x|}{(1+x^2)(1+y^2)} \le \ldots \le \frac{|x|}{1+x^2}+\frac{|y|}{1+y^2} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 09.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Nein. Du wirst nur sagen können, dass
$ 0 [mm] \le |x|/(1+x)^2 \le [/mm] 1/2 $
> und
$ 0 [mm] \le |y|/(1+y^2) \le [/mm] 1/2 $
> ist.
> (Für $ [mm] x=\pm 1\, [/mm] $ geht die erste Ungleichung in Gleichheit über, ebenso natürlich die zweite für $ [mm] y=\pm 1\,. [/mm] $ "Der zweite" wird i.a. nicht $ [mm] \le [/mm] 1/4 $ sein. Das, was Du eigentlich sagen willst, ist, dass es "hypothetisch gut" wäre, wenn gelten würde: Erster Bruch $ [mm] \le [/mm] z $ mit einer Zahl $ 0 < z < [mm] 1\,, [/mm] $ dann zweiter Bruch $ [mm] \le 1-z\,. [/mm] $ So wird das hier aber nicht sein! Sondern: beide Brüche sind $ [mm] \le 0.5\,, [/mm] $ daher ist ihre Summe $ [mm] \le 1\,. [/mm] $)
Ganz verstehe ich noch immer nicht wieso dass hypothetische Bsp nicht funktioniert und es so sein muss. Aus welchen Grund?
Ich weiß 1 ist eine mögliche Liptschitzkonstante(hab ich auch geschafft zu beweisen mit deiner Methode, obwohl ich die umformung (siehe oben) nicht begreife). Ist sie denn auch die bestmöglichste?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Nein. Du wirst nur sagen können, dass
>
> [mm]0 \le |x|/(1+x)^2 \le 1/2[/mm]
>
>
> > und
>
> [mm]0 \le |y|/(1+y^2) \le 1/2[/mm]
>
>
> > ist.
> > (Für [mm]x=\pm 1\,[/mm] geht die erste Ungleichung in Gleichheit
> über, ebenso natürlich die zweite für [mm]y=\pm 1\,.[/mm] "Der
> zweite" wird i.a. nicht [mm]\le 1/4[/mm] sein. Das, was Du
> eigentlich sagen willst, ist, dass es "hypothetisch gut"
> wäre, wenn gelten würde: Erster Bruch [mm]\le z[/mm] mit einer
> Zahl [mm]0 < z < 1\,,[/mm] dann zweiter Bruch [mm]\le 1-z\,.[/mm] So wird das
> hier aber nicht sein! Sondern: beide Brüche sind [mm]\le 0.5\,,[/mm]
> daher ist ihre Summe [mm]\le 1\,. [/mm])
> Ganz verstehe ich noch immer nicht wieso dass hypothetische
> Bsp nicht funktioniert
ich weiß nicht, warum Du die Summanden [mm] $|x|/(1+x^2)$ [/mm] und [mm] $|y|/(1+y^2)$ [/mm] "miteinander gekoppelt" siehst. Ich kann [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] unabhängig voneinander variieren. Und das hypothetische Beispiel funktioniert nicht, weil Du sowas sagst, dass, wenn [mm] $x\,$ [/mm] so ist, dass [mm] $|x|/(1+x^2) \le [/mm] 3/4$ ist (da kannst Du [mm] $x\,$ [/mm] wählen, wie Du willst, das wird eh immer so sein, da ja [mm] $|x|/(1+x^2) \le [/mm] 1/2 < 3/4$) dann [mm] $y\,$ [/mm] stets so sein soll, dass [mm] $|y|/(1+y^2) \le 1/4\,.$ [/mm] Betrachte ich alle Paare $(x,y)=(x,1)$ (mit $x [mm] \in \IR$), [/mm] so ist stets [mm] $|y|/(1+y^2)=1/2 [/mm] > [mm] 1/4\,.$
[/mm]
> und es so sein muss. Aus welchen
> Grund?
Was ist ES?
> Ich weiß 1 ist eine mögliche Liptschitzkonstante(hab ich
> auch geschafft zu beweisen mit deiner Methode, obwohl ich
> die umformung (siehe oben) nicht begreife).
Dann frage bitte genau an der/den Stellen nach, die Du nicht begreifst. Kurzgesagt:
Ich habe zunächst auf [mm] $|x+y|\,$ [/mm] die Dreiecksungleichung angewendet. Dann jeweils den (echt positiven) Nenner verkleinert, der aber immer noch echt positiv bleibt - erinnere Dich: bei gleichbleibendem positiven Zähler führt eine Verkleinerung des (echt positiven) Nenners, solange der verkleinerte auch echt positiv bleibt, zu einer größeren Zahl.
Am Ende einfach die Abschätzung
[mm] $$|r|/(1+r^2) \le [/mm] 1/2$$
für alle reellen [mm] $r\,$ [/mm] benutzt. Den Beweis dieser sehe ich bei Dir noch nicht. Ist er Dir mit einem meiner Vorschläge denn gelungen?
> Ist sie denn
> auch die bestmöglichste?
Diese Frage habe ich in dem anderen Thread beantwortet, wenngleich ich dort auch nur eine Beweisidee (die sogar auch verbesserbar ist) geliefert habe.
Die Antwort: Nein, es gibt durchaus eine bessere Lipschitzkonstante. Um diese zu finden, darf man aber "nicht so Holzhammermäßig (und mit der Dreiecksungleichung)" abschätzen, sondern sucht nach "der kleinsten oberen Schranke für [mm] $|f'|\,$".
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 10.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Den Beweis dieser sehe ich bei Dir noch nicht. Ist er Dir mit einem meiner Vorschläge denn gelungen?
Mit zweiten Vorschlag schon.
$ [mm] |r|/(1+r^2) \le [/mm] 1 $
<=> [mm] |r|-r^2 \le [/mm] 1
<=> 0 [mm] \le [/mm] -|r| [mm] +r^2 [/mm] +1
<=> 0 [mm] \le [/mm] -|r| [mm] +|r|^2 [/mm] +1
Da -2|r| [mm] \le [/mm] -|r|
<=> 0 [mm] \le (|r|-1)^2
[/mm]
Und das ist [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
Eine mögliche Lipschitzkonstante ist also 2.
Bestmöglichste Rauszufinden.
f(x) = [mm] \frac{1}{1+x^2}
[/mm]
f'(x) = [mm] \frac{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
f''(x) = [mm] \frac{6x^4+4x^2-2}{(1+x^2)^4}
[/mm]
Extremstellen wollen wir ausrechnen oder?
f'(x) =0
0= [mm] \frac{-2x} {(1+x^2)^2}
[/mm]
0=x
f''(0) = -2 -> Max
f(0) = 1
(-2,1) Hochpunkt
Wendepunkt:
f''(x) =0
[mm] \frac{6x^4+4x^2-2}{(1+x^2)^4} [/mm] =0
x= [mm] \pm \wurzel{\frac{1}{3}}
[/mm]
[mm] f(\wurzel{\frac{1}{3}}) [/mm] =3/4
[mm] f(-\wurzel{\frac{1}{3}}) [/mm] =3/4
[mm] W_{1,2}= (\pm \wurzel{\frac{1}{3}} [/mm] / [mm] \frac{3}{4})
[/mm]
Was ist denn jetzt die bestmöglichste Lipschitzkonstante.?
> Berechne nun die Nullstellen von $ [mm] f''=g'\,. [/mm] $ Danach bestimme die lokalen (und auch globalen) Extremwerte von $ [mm] g:=f'\,. [/mm] $ Damit findest Du eine bessere Lipschitzkonstante als $ [mm] 1\,. [/mm] $
Welche Funktion ist g?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Den Beweis dieser sehe ich bei Dir noch nicht. Ist er Dir
> mit einem meiner Vorschläge denn gelungen?
> Mit zweiten Vorschlag schon.
> [mm]|r|/(1+r^2) \le 1[/mm]
>
> <=> [mm]|r|-r^2 \le[/mm] 1
> <=> 0 [mm]\le[/mm] -|r| [mm]+r^2[/mm] +1
> <=> 0 [mm]\le[/mm] -|r| [mm]+|r|^2[/mm] +1
> Da -2|r| [mm]\le[/mm] -|r|
> <=> 0 [mm]\le (|r|-1)^2[/mm]
> Und das ist [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Eine mögliche Lipschitzkonstante ist also 2.
>
> Bestmöglichste Rauszufinden.
> f(x) = [mm]\frac{1}{1+x^2}[/mm]
> f'(x) = [mm]\frac{-2x}{(1+x^2)^2}[/mm]
> f''(x) = [mm]\frac{6x^4+4x^2-2}{(1+x^2)^4}[/mm]
>
> Extremstellen wollen wir ausrechnen oder?
> f'(x) =0
> 0= [mm]\frac{-2x} {(1+x^2)^2}[/mm]
> 0=x
>
> f''(0) = -2 -> Max
> f(0) = 1
> (-2,1) Hochpunkt
>
> Wendepunkt:
> f''(x) =0
> [mm]\frac{6x^4+4x^2-2}{(1+x^2)^4}[/mm] =0
> x= [mm]\pm \wurzel{\frac{1}{3}}[/mm]
> [mm]f(\wurzel{\frac{1}{3}})[/mm] =3/4
> [mm]f(-\wurzel{\frac{1}{3}})[/mm] =3/4
> [mm]W_{1,2}= (\pm \wurzel{\frac{1}{3}}[/mm] / [mm]\frac{3}{4})[/mm]
>
> Was ist denn jetzt die bestmöglichste
> Lipschitzkonstante.?
Was für ein Aufwand !!
1. Es gilt:
[mm] \bruch{|r|}{1+r^2} \le [/mm] 1/2 [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le 1-2|r|+|r|^2 \gdw [/mm] 0 [mm] \le (1-|r|)^2
[/mm]
Damit ist L=1 eine Lipschitzkonstante für f(x)= [mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
2. Die Frage nach der "besten" Lip. Konstante kann man so beantworten:
Es gelte |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| für alle x und y. Spezialisiert man (y=0 und x>0), so folgt:
[mm] \bruch{x}{1+x} \le [/mm] L für alle x>0 .
Mit x [mm] \to \infty [/mm] folgt: L [mm] \ge [/mm] 1.
Damit ist L=1 die "beste" Lip. Konstante
FRED
>
> > Berechne nun die Nullstellen von [mm]f''=g'\,.[/mm] Danach bestimme
> die lokalen (und auch globalen) Extremwerte von [mm]g:=f'\,.[/mm]
> Damit findest Du eine bessere Lipschitzkonstante als [mm]1\,.[/mm]
> Welche Funktion ist g?
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 10.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Was für ein Aufwand !!
.-.
> 1. Es gilt:
> [mm]\bruch{|r|}{1+r^2} \le[/mm] 1/2 [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le 1-2|r|+|r|^2 \gdw[/mm]
> 0 [mm]\le (1-|r|)^2[/mm]
> Damit ist L=1 eine Lipschitzkonstante für f(x)=
> [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
Ja hätte ich mir einfacher machen können .
> 2. Die Frage nach der "besten" Lip. Konstante kann man so
> beantworten:
>
> Es gelte |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] |x-y| für alle x und y.
> Spezialisiert man (y=0 und x>0), so folgt:
>
> [mm]\bruch{x}{1+x} \le[/mm] L für alle x>0 .
>
> Mit x [mm]\to \infty[/mm] folgt: L [mm]\ge[/mm] 1.
>
> Damit ist L=1 die "beste" Lip. Konstante
Ich bin da eigentlich den Hinweis von Marcel gefolgt.
Ja ist logisch. Kann es aber nicht eine kleinere Lipschitzkonstante geben als 1?
Funktioniert das mit der Methode übers Differenzieren nicht? Den Tutoren meinten, dass wir die bestmöglichste über Differenzieren rausfindne sollten. Also kann ich mit meiner(Marcels) Methode da nichts herauslesen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Di 10.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
L soll für alle (x,y) gelten! wenn di L=1 hast musst du nur ein (xy) finden bei dem wirklich 1 erreicht wird und nichts kleineres. setz mal in deiner ursprünglichen fkkt x=y=1 ein!
also hast du mit deiner 2 nicht das optimale L erreicht, fred mit L=1 aber schon:
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 10.01.2012 | | Autor: | sissile |
Die Frage war, ob ich die bestmöglichste Lipschitzkonstante auch mit meiner Metode (Differenzieren) zeigen kann!??
Wenn ich die Definition von Lipschitzstetigkeit anschaue, sehe ich (wenn ich nach L umforme), dass auf der einen Seite der Differenzenquotient steht.
Ich verlinke nochmal den Beitrag, wo ich die Ableitungen der Funktion [mm] 1/(1+x^2) [/mm] aufgeschriben hab und hochpunkt und wendepunkt ausgerechnet hab.
https://matheraum.de/read?t=856377
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 10.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Die Frage war, ob ich die bestmöglichste
> Lipschitzkonstante auch mit meiner Metode (Differenzieren)
> zeigen kann!??
>
> Wenn ich die Definition von Lipschitzstetigkeit anschaue,
> sehe ich (wenn ich nach L umforme), dass auf der einen
> Seite der Differenzenquotient steht.
>
>
> Ich verlinke nochmal den Beitrag, wo ich die Ableitungen
> der Funktion [mm]1/(1+x^2)[/mm] aufgeschriben hab und hochpunkt und
> wendepunkt ausgerechnet hab.
> https://matheraum.de/read?t=856377
der Verweis landet doch genau in diesem Thread hier. Ich glaube nicht, dass Du hier die bestmöglichste Lipschitzkonstante "alleine" durch Berechnen von [mm] $f'\,$ [/mm] bestimmt bekommst. Denn dann müßtest Du "von Hand" [mm] $|f'\,|$ [/mm] doch schon sehr gut abschätzen und beweisen, dass die so gefundene Lipschitzkonstante auch bestmöglich ist.
Der von mir vorgeschlagene Weg ergibt sich mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
Für alle $x,y [mm] \in \IR\,,$ [/mm] o.E. $x < [mm] y\,$ [/mm] gilt
[mm] $$f(y)-f(x)=f'(\xi)*(y-x)$$
[/mm]
mit einem $x < [mm] \xi=\xi_{x,y} [/mm] < [mm] y\,.$
[/mm]
Daraus folgt: Ist [mm] $|\red{f'}|$ [/mm] (hier: auf [mm] $\IR$) [/mm] beschränkt und ist $M > [mm] 0\,$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $|\red{f'}|\,,$ [/mm] so ist [mm] $M\,$ [/mm] eine Lipschitzkonstante für [mm] $\blue{f}$ [/mm] (NICHT [mm] $\red{f'}!!$), [/mm] also [mm] $\blue{f}\,$ [/mm] insbesondere Lipschitzsch ^^
Mein Vorschlag war: Zeige, dass [mm] $|\red{f'}|$ [/mm] nach oben beschränkt ist. Wenn Du keine Symmetrie hättest, wäre es gut, dann [mm] $I:=\inf \red{f'}$ [/mm] und [mm] $S:=\sup \red{f'}$ [/mm] zu berechnen - dann wäre [mm] $M:=\max\{|I|,\;|S|\}$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $|\red{f'}|\,.$ [/mm] (Diese ist natürlich hier nur im Falle $M < [mm] \infty$ [/mm] interessant!)
Hier kannst Du Dir aber das Leben wegen Symmetrieeigenschaften ein bisschen erleichtern:
Beachte allerdings zunächst, wir suchen Extrema von [mm] $\red{f'}\,,$ [/mm] nicht von [mm] $\blue{f}\,.$ [/mm]
Wenn Du Dir mal [mm] $\red{f'}$ [/mm] hingeschrieben hast, siehst Du: [mm] $\red{f'}(0)=0\,$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to \infty}\red{f'}(x)=0\,.$ [/mm] Außerdem ist [mm] $\red{f'}$ [/mm] stetig. Wegen Symmetrieeigenschaften reicht es, [mm] $\red{f'}$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] zu untersuchen. Berechne mal mithilfe der Ableitung von [mm] $\red{f'}\,,$ [/mm] also mit der Funktion
[mm] $$f''=(\red{f'})'$$
[/mm]
nun die Extremstelle(n) [mm] $x_E$ [/mm] von [mm] $\red{f'}\,.$ [/mm] Und dann den/die zugehörige(n) (endlich vielen) Extrempunkt(e)
[mm] $$(x_E,\red{f'}(x_E))\,.$$
[/mm]
Danach beachte [mm] $|\red{f'(z)}| \le \max\{|\red{f'}(x_E):\;x_E\text{ Extremstelle}|\}$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Dass die so gefundene Lipschitzkonstante bestmöglich ist, zeigst Du dann durch Betrachtung von Folgen (oder einer Folge), die gegen eine entsprechende Extremstelle konvergiert - ich denke, dass das dann passt (man kann sich danach evtl. Gedanken machen, wegen welcher hier gegebenen Voraussetzung das gutgeht - vll. weil [mm] $\red{f'}\,$ [/mm] auch an der entsprechenden Stelle stetig ist... oder man braucht mehr?? Ich hab's nur so [mm] $\pi*\,$ [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") in Gedanken durchgespielt, dass das jedenfalls eine Idee ist, die es Wert sein könnte, verfolgt zu werden!)
P.S.:
Ja, Du irrst Dich nicht, wenn Du richtig gelesen hast: Anstatt nur [mm] $\red{f'}$ [/mm] zu benutzen, solltest Du hier auch noch [mm] $\green{f''}=(\red{f'})'$ [/mm] benutzen. Du darfst also nochmal ableiten
Gruß,
Marcel
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