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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Sa 23.10.2004 | | Autor: | SabineG |
Erstsemestler und noch kein Plan, also für alle anderen wahrscheinlich ne einfache Sache:
Sei I [mm] \not= \emptyset [/mm] eine beliebige Menge und für alle i [mm] \in [/mm] I seien Ai, Bi Mengen. Gilt eine Inklusion oder sogar Gleichheit zwischen den Mengen
[mm] \cup [/mm] (Ai [mm] \times [/mm] Bi) und ( [mm] \cup [/mm] Ai) [mm] \times [/mm] ( [mm] \cup [/mm] Bi) ?
Schonmal danke im Vorraus, falls sich jemand die Mühe macht und mir das zeigt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Also ich denke mal, du meinst die Vereinigung aller [mm]A_i \times B_i[/mm]
bzw. [mm]\cup A_i \times \cup B_i[/mm].
Das entspricht aber (nach Def. des Kreuzprodukts)
[mm]\cup (\{a| a \in A_i\} \times \{a| a \in A_i\})[/mm]
=> [mm]\cup \{(a,b)| a \in A_i\, b \in B_i\})[/mm], soweit die linke seite. die läßt sich, meiner Meinung nach nicht weiter zusammenfassen, da man, wenn man die Vereinigung in die Mengenklammer mit reinzöge, man ja z.B. Paare von a aus A1 mit b aus B3 oder ähnlich bilden könnte, so wie dies auf der rechten Seite der Fall ist.
Laut aufgabenstellung können die Mengen aber auch disjunkt sein, was bedeuten würde, daß so eine Päärchenbildung auf der linken seite nicht möglich wäre, was aber auf der rechten auf jeden Fall geht.
Damit wäre die linke Menge aber auf jeden Fall eine Teilmenge der rechten.
Ich hoffe, ich hab dich nicht zu sehr verwirrt, bin ja selbst erst erstsemester...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Sa 23.10.2004 | | Autor: | SabineG |
Ja, genau das meinte ich.
Danke soweit dafür.
Den ersten Teil hatte ich auch schon vermutet/erraten..., allerdings weiß ich nicht so genau was du mit Päärchenbildung meinst...
naja, vielleicht weiß ja noch wer anders weiter...
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Also: Das Kreuzprodukt ist M x N doch folgendermaßen definiert:
Du bildest alle geordneten Paare (m;n), in denen m aus M und n aus N ist und faßt diese in einer Menge zusammen.
Was auf der linken Seite steht, ist nichts anderes als:
bilde alle Päärchen (a1,b1) mit a1 aus A1 und b1 aus B1, (a2,b2) mit a2 aus A2 und b2 aus B2 und so weiter und werfe alle diese Pärchen in einer Menge zusammen.
Dabei kann es logischerweise nicht vorkommen, daß du ein Pärchen der Form (a3,b2) mit a3 aus A3 und b2 aus B3 hast, oder?
Auf der rechten Seite hingegen steht: bilde alle Pärchen (a,b) mit a aus irgendeiner der Mengen Ai und b aus irgendeiner der Mengen bi.
Da kann dan doch sehr wohl irgend etwas vorkommen wie (a3,b2).
Daher sind beide Mengen schonmal nicht gleich.
Andererseits kommt aber auch jedes Paar, das wir auf der linken Seite gebildet haben, auch in der rechten Menge vor.
Und deshalb ist die linke eine Teilmenge der rechten Menge.
Ich hoffe, daß es diesmal verständlicher war (nicht so chaotisch wie meine letzte Antwort).
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 24.10.2004 | | Autor: | SabineG |
Es tut mir leid, aber ich schaffe es immer noch nicht die Lösung aufs Papier zu bekommen.
Ich mein, ich versteh was du erklärt hast, aber ich kanns nicht in mathematische Wörter umsetzen. Ich find auch nichts in meinen Aufzeichnungen woran ich mich orientieren könnte.
Wär wirklich nett, wenn du mir noch einmal helfen könntest.
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Hallo Sabine!
Keine Sorge, Dein Problem haben die allermeisten Erstsemester - die Aufgabe ist (im Grunde) klar, aber wie schreibt man es so auf, dass der Tutor nicht die Hände überm Kopf zusammenschlägt? Zur Beruhigung kann ich Dir sagen, dass es auch Deinem Tutor früher mit Sicherheit so ging und dass die "richtige" Art, Dinge aufzuschreiben eine Übungsfrage ist.
Also, ein Fingerzeig in Deinem Fall:
Du hast zwei Mengen gegeben, die Du auf Inklusion bzw. Gleichheit untersuchen sollst. Wie Du ganz richtig vermutest, gilt die eine Inklusion, aber nicht die andere.
Jetzt gehst Du folgendermaßen vor: die Inklusion, die korrekt ist, beweist Du formal. Ich nenne die Mengen mal $A$ und $B$ und Du willst zeigen, dass gilt: $A [mm] \subseteq [/mm] B$. Dazu nimmst Du Dir ein beliebiges Element aus $A$ und zeigst, dass es auch in $B$ liegt.
Um die andere Inklusion zu negieren, reicht es ein konkretes Gegenbeispiel anzugeben - natürlich möglichst einfach. In Deinem Fall reicht es schon, die Menge $I$ zwei-elementig zu wählen, also z.B. $I = [mm] \{ 1,2\} [/mm] $. Dann gibst Du Mengen [mm] $A_1, A_2, B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] an und zeigst, dass es ein Element in der einen Vereinigung gibt, was Du in der anderen nicht findest. Damit hast Du durch ein Gegenbeispiel bewiesen, dass diese Inklusion im Allgemeinen nicht gelten kann.
Und schon bist Du fertig, kannst Dich beruhigt zurücklehnen und den Sonntag genießen! 
Viel Glück!
Lars
P.S.: Habe den Artikel ins Uni-Forum verschoben... nur, damit sich keiner wundert. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 24.10.2004 | | Autor: | SabineG |
Nachdem ich nun die ganzen Antworten bekommen hab, die sich dann dann mit meinen verwirrten Gedanken vermischt haben, bin ich nun vollends verwirrt. Das liegt ganz sicher nicht an euch, aber ich komm nach wie vor nicht voran.
Um zu verdeutlich wie verwirrrt ich bin, schreib ich mal hin, wie meine Aufzeichnungen aussehn.
Ich will mir ein beliebiges Element aus A nehmen, damit ich dann
A [mm] \subseteq [/mm] B nachweisen kann. Erste Frage: was ist überhaupt genau A?Ich sehe hier nur Ai´s . Also bin ich davon ausgegangen das die ganze "linke Seite" A ist, also:
A: [mm] \cup(Ai \times [/mm] Bi)
Daraus nehme ich ein beliebiges Element. Hab dann da stehen:
x [mm] \in [/mm] (Ai [mm] \times [/mm] Bi)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] Ai und x [mm] \in [/mm] Bi
So, da hörts dann auf. Zudem bin ich mir nicht sicher, dass das da richtig ist. Ich gehe davon aus, dass Menge B die "rechte Seite" ist, also:
( [mm] \cup [/mm] Ai) [mm] \times [/mm] ( [mm] \cup [/mm] Bi). Also müsste ich irgendwie von dem was ich da mir zusammengewurschtelt hab auf mein B kommen.
wie gesagt: Verwirrung total!
Noch ne Frage zu dem nächsten Teil, falls ich zu dem jemals kommen werd.
Also, theoretisch versteh ich, was du vorhast. Aber praktisch weiß ich nicht was du meinst. Was soll ich mit der Menge I= {1,2} machen? Wie bilde ich denn A1, A2, B1 und B2 und wovon denn? Finde dazu auch nichts in meinen Aufzeichnungen, mal wieder....
Ist mir ja schon fast peinlich solche Fragen zu stellen....., würd mich aber trotzdem freun, falls mir nochmal jemand weiterhelfen könnte.
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Oh je... jetzt habe ich Dich verwirrt und es ist alles meine Schuld. ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
Also, ich habe die Buchstaben A und B nur als Abkürzungen für die Systeme eingeführt. Was Du ja zeigen willst, ist Folgendes:
Sei $I [mm] \not= \emptyset$ [/mm] beliebig und zu jedem $i [mm] \in [/mm] I$ seien Mengen [mm] $A_i$ [/mm] und [mm] $B_i$ [/mm] gegeben. Dann möchtest Du zeigen:
[mm] $\bigcup_{i \in I} (A_i \times B_i) \subseteq \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \times \left( \bigcup_{i \in I} B_i \right) [/mm] $
Das linke Ding habe ich mit meinem A gemeint und das rechte mit meinem B. Also zum Beweis: nehme ein beliebiges Element aus der linken Menge, also sei $(a,b) [mm] \in \bigcup_{i \in I} (A_i \times B_i)$. [/mm] Wenn ein Element einer Vereinigung gegeben ist, dann liegt es in mindestens einer der Mengen, die da vereinigt werden. Also gibt es (mindestens) ein $j [mm] \in [/mm] I$ mit $(a,b) [mm] \in A_j \times B_j$ [/mm] oder anders gesagt es gilt: $a [mm] \in A_j$ [/mm] und $b [mm] \in B_j$ [/mm] für dieses feste $j$.
Wenn aber $a [mm] \in A_j$ [/mm] gilt und $j [mm] \in [/mm] I$, dann folgt insbesondere $a [mm] \in \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right)$ [/mm] und analog auch $b [mm] \in \left( \bigcup_{i \in I} B_i \right)$ [/mm] und somit auch: $(a,b) [mm] \in \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \times \left( \bigcup_{i \in I} B_i \right)$.
[/mm]
Und das war zu zeigen.
So und nun zur anderen Richtung. Wie Christian schon andeutete und Du nach eigenem Bekunden auch schon nachvollzogen hast, gilt die umgekehrte Inklusion nicht. Und dazu geben wir ein Gegenbeispiel an, wo wir die Mengen fest definieren.
Sei also $I := [mm] \{ 1, 2\}$ [/mm] die Menge mit zwei Elementen. $I$ ist ja unsere Indexmenge, die Anzahl ihrer Elemente entspricht der Anzahl der Mengen [mm] $A_i$ [/mm] und [mm] $B_i$. [/mm] In unserem Fall haben wir also 4 Mengen gegeben: [mm] $A_1, A_2, B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$.
[/mm]
Definieren wir uns jetzt diese. Meinetwegen so:
[mm] $A_1 [/mm] := [mm] \{ a \}$
[/mm]
[mm] $A_2 [/mm] := [mm] \{ b \}$
[/mm]
[mm] $B_1 [/mm] := [mm] \{ x \}$
[/mm]
[mm] $B_2 [/mm] := [mm] \{ y \}$
[/mm]
Und jetzt schauen wir uns in diesem konkreten Fall die beiden großen zu untersuchenden Mengen an:
[mm] $\bigcup_{i \in I} (A_i \times B_i) [/mm] = [mm] (A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2) [/mm] = [mm] \{ (a,x) \} \cup \{ (b,y) \} [/mm] = [mm] \{ (a,x), (b,y) \}$
[/mm]
Und die andere Menge:
$ [mm] \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \times \left( \bigcup_{i \in I} B_i \right) [/mm] = [mm] (A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2) [/mm] = [mm] \{a,b\} \times \{x,y \} [/mm] = [mm] \{ (a,x),(a,y),(b,x),(b,y) \}$
[/mm]
Wie man sieht, hat die zweite Menge zwei Elemente mehr, also kann sie in diesem Fall nicht in der ersten enthalten sein.
Damit ist gezeigt, dass die eine Inklusion immer gilt und für die andere haben wir ein Gegenbeispiel gefunden.
Jetzt alles klar? Nur nicht aufgeben: ![[scheisskram]](/images/smileys/scheisskram.gif "[scheisskram]")
Das wird schon.
Lars
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