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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Xath |
Hallo!
Brauche mal wieder Hilfe!
Ich soll zeigen, dass das Produkt von 4 aufeinander folgenden Zahlen vermehrt um 1 immer eine Quadratzahl ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Vier aufeinanderfolgende Zahlen lassen sich in der Form
$n$, $n+1$, $n+2$ und $n+3$
darstellen.
Ihr Produkt lautet:
$n [mm] \cdot [/mm] (n+1) [mm] \cdot [/mm] (n+2) [mm] \cdot [/mm] (n+3) = [mm] (n^2+n) \cdot (n^2+5n+6) [/mm] = [mm] n^4 [/mm] + [mm] 6n^3 +11n^2 [/mm] + 6n$.
Um $1$ vermehrt ist die gleich:
[mm] $n^4 [/mm] + [mm] 6n^3 +11n^2 [/mm] + 6n+1$.
Und jetzt musst du eine Zahl finden, deren Quadrat gleich [mm] $n^4 [/mm] + [mm] 6n^3 +11n^2 [/mm] + 6n+1$ ist. Dann hast du gezeigt, dass [mm] $n^4 [/mm] + [mm] 6n^3 +11n^2 [/mm] + 6n+1$ eine Quadratzahl ist und bist fertig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Setze doch mal so an:
[mm] $(n^2+an+b)^2 [/mm] = [mm] n^4 [/mm] + [mm] 2an^3 [/mm] + [mm] (2b+a^2)n^2 [/mm] + 2abn [mm] +b^2$.
[/mm]
Hast du eine Idee, wie man $a$ und $b$ jetzt wählen kann und muss, damit dies gleich [mm] $n^4 [/mm] + [mm] 6n^3 +11n^2 [/mm] + 6n+1$ ist?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 05.06.2005 | | Autor: | Xath |
Reicht es aus, wenn ich eine Zahl finde, die Quadratzahl von der Gleichung ist, um zu beweisen, dass die Gleichung immer eine Quadratzahl ist?
So richtig seh ich da nicht durch!!!
Könntet ihr mir das bitte nochmal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 05.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Xath!
> Reicht es aus, wenn ich eine Zahl finde, die Quadratzahl
> von der Gleichung ist, um zu beweisen, dass die Gleichung
> immer eine Quadratzahl ist?
Wenn Du Stefan's Ansatz benutzt, zeigst Du das ja nicht nur für eine Zahl sondern allgemein, da er ja als Variable ein beliebiges $n$ angenommen hat.
Er sagt ja, die gesuchte Zahl, die quadriert das Produkt ergibt, hat folgende Form: [mm] $(n^2+an+b)$ [/mm] .
Wenn er von dieser Zahl das Quadrat berechnet, erhält er:
[mm] $(n^2+an+b)^2 [/mm] \ = \ [mm] n^4 [/mm] + [mm] 2an^3 [/mm] + [mm] (2b+a^2)n^2 [/mm] + 2abn [mm] +b^2$
[/mm]
Dies soll ja nun genau unserem Produkt der 4 aufeinanderfolgenden Zahlen (um 1 vermehrt) sein: [mm] $n^4 [/mm] + [mm] 6n^3 +11n^2 [/mm] + 6n+1$
Wir setzen also diese beiden Terme mal gleich:
[mm] $n^4 [/mm] + [mm] 2an^3 [/mm] + [mm] (2b+a^2)n^2 [/mm] + 2abn [mm] +b^2 [/mm] \ = \ [mm] n^4 [/mm] + [mm] 6n^3 +11n^2 [/mm] + 6n+1$
Damit hier nun wirklich Gleichheit herrscht, müssen die Koeffizienten vor den einzelnen n-Potenzen immer gleich sein (Koeffizientenvergleich):
[mm] $\blue{2a}*n^3 [/mm] \ = \ [mm] \blue{6}*n^3$ $\gdw$ $\blue{2a} [/mm] \ = \ [mm] \blue{6}$ [/mm] usw.
Es ergeben sich also folgende Gleichungen zu einem Gleichungssystem:
[1] $2a \ = \ 6$
[2] [mm] $2b+a^2 [/mm] \ = \ 11$
[3] $2ab \ = \ 6$
[4] [mm] $b^2 [/mm] \ = \ 1$
Du hast hier ein überbestimmtes Gleichungssystem, da zwei Unbekannte mit 4 Gleichungen vorliegen.
Wenn Du es jedoch schaffst, eine eindeutige Lösung für $a$ und $b$ zu ermitteln (was auch wirklich gelingt), dann hast Du die Gleichheit der beiden o.g. Terme nachgewiesen, da sich das um 1 vermehrte Produkt ja immer als als eine Quadratzahl darstellen lässt (für beliebiges $n$).
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Welche Lösung erhältst Du für $a$ bzw. $b$ ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Xath |
Danke für eure Hilfe, habt mir sehr geholfen und ich hab den Lösungsweg jetzt auch verstanden!!!
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