Beweis: A+B invertierbar < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Do 05.10.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es seien $A, B [mm] \in \IR^{N,N}$, [/mm] wobei $A$ regulär ist. Ferner sei [mm] $\|A^{-1}\| \|B\|<1$, [/mm] wobei [mm] $\|.\|$ [/mm] eine induzierte Matrixnorm ist.
Beweisen Sie, dass $A+B$ invertierbar ist! |
Hallo!
Da ich nicht weiß wie Normen und Determinanten zusammenhängen (falls sie das überhaupt irgendwie tun...?) hab ich mir überlegt das LGS anzuschauen, weil ja gilt:
A+B invertierbar genau dann wenn (A+B) x = 0 impliziert, dass x=0 ist (x= Vektor).
betrachte also (A+B) x = 0 und bilde Norm:
||(A+B) x || = ||0||=0
||Ax + Bx || = 0
0 = || Ax + Bx || [mm] \leq [/mm] ||Ax|| + || Bx|| (Normeigenschaft)
[mm] \leq [/mm] ||A|| ||x|| + ||B|| ||x|| (Verträglichkeit)
[mm] \leq [/mm] (||A|| + ||B||) ||x||
[mm] \leq||x|| [/mm] .... (leider nichts neues...)
und hier häng ich nun, weil ich nicht weiß wie ich die Voraussetzung dass [mm] ||A^{-1} [/mm] || ||B||<1 geschickt einbauen kann, und zeigen dass x=0 sein muss .
hab das noch versucht irgendwie in ein produkt umzuformen:
0 [mm] \leq [/mm] ||A|| ||x|| + ||B|| ||x||
- ||A|| ||x|| [mm] \leq [/mm] ||B|| ||x||
- ||x|| [mm] \leq ||A||^{-1} [/mm] ||B|| ||x||
aber das hilft auch nicht so viel weiter...
habt ihr einen tipp für mich? oder muss ich da über einen ganz andren ansatz ran??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 05.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> Es seien A, B [mm]\in R^{N,N},[/mm] wobei A regulär ist. Ferner sei
> [mm]||A^{-1}[/mm] || ||B||<1, wobei ||.|| eine induzierte Matrixnorm
> ist. Beweisen Sie, dass A+B invertierbar ist!
> Hallo!
> Da ich nicht weiß wie Normen und Determinanten
> zusammenhängen (falls sie das überhaupt irgendwie tun...?)
> hab ich mir überlegt das LGS anzuschauen, weil ja gilt:
> A+B invertierbar genau dann wenn (A+B) x = 0 impliziert,
> dass x=0 ist (x= Vektor).
> betrachte also (A+B) x = 0 und bilde Norm:
> ||(A+B) x || = ||0||=0
> ||Ax + Bx || = 0
> 0 = || Ax + Bx || [mm]\leq[/mm] ||Ax|| + || Bx|| (Normeigenschaft)
> [mm]\leq[/mm] ||A|| ||x|| + ||B|| ||x||
> (Verträglichkeit)
> [mm]\leq[/mm] (||A|| + ||B||) ||x||
> [mm]\leq||x||[/mm] .... (leider nichts
> neues...)
> und hier häng ich nun, weil ich nicht weiß wie ich die
> Voraussetzung dass [mm]||A^{-1}[/mm] || ||B||<1 geschickt einbauen
> kann, und zeigen dass x=0 sein muss .
> hab das noch versucht irgendwie in ein produkt
> umzuformen:
> 0 [mm]\leq[/mm] ||A|| ||x|| + ||B|| ||x||
> - ||A|| ||x|| [mm]\leq[/mm] ||B|| ||x||
> - ||x|| [mm]\leq ||A||^{-1}[/mm] ||B|| ||x||
>
> aber das hilft auch nicht so viel weiter...
> habt ihr einen tipp für mich? oder muss ich da über einen
> ganz andren ansatz ran??
Versuchs doch mal so: Es ist $A + B = A [mm] \cdot [/mm] (I + [mm] A^{-1} [/mm] B)$, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Kannst du ueber die Invertierbarkeit von $I + [mm] A^{-1} [/mm] B$ etwas aussagen, etwa in Abhaengigkeit von [mm] $\| A^{-1} [/mm] B [mm] \|$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Riley |
HI Felix!
danke für deinen tipp.... wenn ich etwas über die Invertierbarkeit von [mm] I+A^{-1}B [/mm] aussagen möchte, muss ich auch wieder das LGS anschauen, oder? hast du das gemeint?
d.h. [mm] (I+A^{-1}B)x [/mm] = 0
|| (I + [mm] A^{-1}B [/mm] ) x || = 0
|| Ix + [mm] A^{-1}Bx [/mm] || = 0
0 = || x + [mm] A^{-1}B [/mm] x|| [mm] \leq [/mm] ||x|| + [mm] ||A^{-1}Bx|| \leq [/mm] ||x|| + [mm] ||A^{-1}B|| [/mm] ||x||
0 [mm] \leq [/mm] ||x|| (1 + [mm] ||A^{-1}B||)
[/mm]
hm, jetzt weiß ich dass da ne wahre aussage steht, nur über die invertierbarkeit leider nichts... ??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 06.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hi Riley!
> danke für deinen tipp.... wenn ich etwas über die
> Invertierbarkeit von [mm]I+A^{-1}B[/mm] aussagen möchte, muss ich
> auch wieder das LGS anschauen, oder? hast du das gemeint?
Nein, nicht ganz  Sagt dir die `von Neumannsche Reihe' was?
(Wenn nicht: Bei reellen Zahlen hast du ja, dass [mm] $\frac{1}{1 - x}$ [/mm] gleich [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] ist fuer $|x| < 1$. Kannst du das Resultat vielleicht uebertragen?)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Felix!
jaaa, die neumannsche reihe is cool, die kenn ich *lichtaufgeh* =))
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}A^m [/mm] = [mm] I+A+A^2 [/mm] + ... ist genau dann konvergent, wenn [mm] \rho(A) [/mm] <1. In diesem Fall existiert [mm] (I-A)^{-1} [/mm] und es [mm] gilt:\summe_{i=1}^{\infty}A^m [/mm] = [mm] (I-A)^{-1}.
[/mm]
wobei wir brauchen hier ja die alternierende wegen "+" oder?
und da gilt: [mm] \rho(A^{-1}B) \leq ||A^{-1}B|| \leq ||A^{-1}|| [/mm] ||B|| < 1
folgt dass [mm] (I+A^{-1}B)^{-1} [/mm] existiert, also [mm] (I+A^{-1}B) [/mm] invertierbar ist.
Nach Voraussetzung ist A regulär, d.h. auch invertierbar. D.h. das Produkt A [mm] (I+A^{-1}B) [/mm] (=A+B) ist invertierbar, da die beiden Faktoren invertierbar sind.
Darf man das so schnell sagen? korrekterweise müsste ich das wohl auch noch zeigen, oder?
und dann hab ich noch ne frage dazu, man kann nur folgern, dass wenn [mm] \rho(A) [/mm] <1 ist, dass dann gilt [mm] (I+A)^{-1} [/mm] existiert, die andre richtung gilt nicht, oder??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Fr 06.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hi Riley!
> jaaa, die neumannsche reihe is cool, die kenn ich
> *lichtaufgeh* =))
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}A^m[/mm] = [mm]I+A+A^2[/mm] + ... ist genau dann
> konvergent, wenn [mm]\rho(A)[/mm] <1. In diesem Fall existiert
> [mm](I-A)^{-1}[/mm] und es [mm]gilt:\summe_{i=1}^{\infty}A^m[/mm] =
> [mm](I-A)^{-1}.[/mm]
> wobei wir brauchen hier ja die alternierende wegen "+"
> oder?
Nicht umbedingt (bzw. indirekt), da ja [mm] $\rho(A) [/mm] = [mm] \rho(-A)$ [/mm] folgt aus [mm] $\rho(A) [/mm] < 1$ sowohl die Existenz von $(I + [mm] A)^{-1}$ [/mm] als auch die Existenz von $(I - [mm] A)^{-1}$.
[/mm]
> und da gilt: [mm]\rho(A^{-1}B) \leq ||A^{-1}B|| \leq ||A^{-1}|| ||B|| < 1[/mm]
> folgt dass [mm](I+A^{-1}B)^{-1}[/mm] existiert, also [mm](I+A^{-1}B)[/mm]
> invertierbar ist.
Genau.
> Nach Voraussetzung ist A regulär, d.h. auch invertierbar.
Regulaer ist doch nur ein anderes Wort als invertierbar, oder?
> D.h. das Produkt A [mm](I+A^{-1}B)[/mm] (=A+B) ist invertierbar, da
> die beiden Faktoren invertierbar sind.
Genau.
> Darf man das so schnell sagen? korrekterweise müsste ich
> das wohl auch noch zeigen, oder?
Wenn du weisst, dass [mm] $GL_n(\IR)$ [/mm] eine Gruppe ist, brauchst du das nicht extra zu zeigen
> und dann hab ich noch ne frage dazu, man kann nur folgern,
> dass wenn [mm]\rho(A)[/mm] <1 ist, dass dann gilt [mm](I+A)^{-1}[/mm]
> existiert, die andre richtung gilt nicht, oder??
Die andere Richtung ist im Allgemeinen falsch, nimm etwa $A = 2 [mm] \cdot [/mm] I$. Dann ist [mm] $\rho(A) [/mm] = 2 > 1$, aber denoch ist $I + A = 3 I$ invertierbar mit Inversem [mm] $\frac{1}{3} [/mm] I$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Felix,
vielen Dank für deine tipps und erklärungen samt gegenbsp, hat mir viel geholfen!
viele grüße
riley =))
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