Beweis Bijektion < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:26 Mo 05.11.2018 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Es seien $A$ und $B$ endliche Mengen.
Zeige, eine injektive Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ genau dann surjektiv ist, wenn $|A|=|B|$ |
Hallo zusammen,
ich interpretiere die Aufgabe so:
Sei [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung.
Zeige, $f$ ist injektiv und surjektiv genau dann , wenn $|A|=|B|$
Was wiederum bedeutet: Zeige, $f$ ist bijektiv genau dann , wenn $|A|=|B|$
Richtig?
Dann würde ich den Beweis wie folgt führen:
Annahme: $f$ ist injektiv und surjektiv
(1) Beweis für [mm] $\Rightarrow$: [/mm] $f$ ist injektiv und surjektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] |A|=|B|$
($f$ ist injektiv [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|A| [mm] \le [/mm] |B|$ und $f$ ist surjektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] |A| [mm] \ge [/mm] |B|) [mm] \Rightarrow [/mm] |A|=|B|$
(2) Beweis für [mm] $\Leftarrow$: [/mm] $f$ ist injektiv und surjektiv [mm] $\Leftarrow [/mm] |A|=|B|$
$|A|=|B| [mm] \Rightarrow [/mm] f$ ist bejektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ ist injektiv und surjektiv
Aus (1) und (2) folgt also eine injektive Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ ist genau dann surjektiv, wenn $|A|=|B|$ q.e.d.
Kann bitte jemand drüber schauen?
Danke vorab
Viele Grüße
Asg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Mo 05.11.2018 | | Autor: | hippias |
Ich vermute, dass die Aufgabenstellung so lautet: Seien $A$ und $B$ endliche Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1. Für jede Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ gilt, dass $f$ genau dann injektiv ist, wenn $f$ surjektiv ist.
2. $|A|= |B|$
Bei Deinem Beweis der Rückrichtung wäre zu bemängeln, dass Du die aus der Relation $|A|=|B|$ gegebene Bijektion mit aus der Aufgabenstellung gegebene Funktion $f$ gleichsetzt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:08 Mo 05.11.2018 | | Autor: | asg |
Danke für die schnelle Antwort.
> Ich vermute, dass die Aufgabenstellung so lautet:
Nein, die Aufgabenstellung ist genau eins zu eins wie im Aufgabenblatt.
Ah! Die Rückrichtung muss ich nochmals überdenken. Aber die Hinrichtung ist ok, wenn ich dich richtig interpretiere.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mo 05.11.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Mo 05.11.2018 | | Autor: | fred97 |
Ich interpretiere die Aufgabe so:
A und B seien endliche Mengen und die Abbildung $f:A [mm] \to [/mm] B$ sei injektiv.
Zeige: f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] |A|=|B|.
Mein Beweis:
Zunächst sei [mm] A=\{a_1,...,a_n\} [/mm] und [mm] B=\{b_1,...,b_m\} [/mm] mit [mm] a_i \ne a_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j und ebenso [mm] b_i \ne b_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
Dann ist |A|=n und |B|=m. Da f injektiv ist, ist [mm] f(a_i) \ne f(a_j) [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j, also [mm] f(A)=\{f(a_1),...,f(a_n)\} [/mm] und |f(A)|=n.
Nun sei f surjektiv. Dann ist B=f(A) und es folgt m=n.
Sei umgekehrt m=n. Es ist f(A) [mm] \subseteq [/mm] B. Wegen n=m muss f(A)=B sein, f ist also surjektiv.
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