Beweis: Differenzenquotient < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 29.10.2006 | | Autor: | Kristien |
Hi, ich beschäftige mich gerade mit dem Beweise des Satzes: "Die Integralfunktion [mm] J_a [/mm] von f ist eine Stammfunktion von f. "
Beweis: Für den Differenzenquotienten von [mm] J_a [/mm] an der Stelle x gilt: [mm] \bruch{J_a(x+h)-J_a(x)}{h}
[/mm]
Da f stetig ist, hat f im Intervall[x;x+h] einen größten Funktionswert [mm] M_h [/mm] und einen kleinsten Funktionswert [mm] m_h. [/mm] Es gilt:
1. [mm] m_h*h<=J_a(x+h)-J_a(x)<=M_h*h [/mm] oder
[mm] 2.m_h<=\bruch{J_a(x+h)-J_a(x)}{h}<=M_h
[/mm]
Meine Frage: Bei Nr. 1 Wird ja mit [mm] m_h*h [/mm] und mit dem Mittleren Teil jeweils der Flächeninhalt gemeint. Der entweder größer gleich [mm] m_h*h [/mm] oder kleiner gleich [mm] M_h*h [/mm] ist. Bei Nr. 2 Frage ich mich aber, ob dort tatsächlich das selbe angegeben wird. Denn [mm] m_h [/mm] und [mm] M_h [/mm] sind ja nur die Funktionswerte also y-Werte und das in der Mitte ist ja der Differenzenquotient, also die Steigung in jedem Punkt!
Also hätten Nr.1 und 2 doch nicht die selbe Bedeutung?Aber eigentlich müsste es mathematiusch ja das selbe sein, da bei Nr. 2 ja nur /h gerechnet wurde.
Danke
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Hallo Kristien,
> Hi, ich beschäftige mich gerade mit dem Beweise des Satzes:
> "Die Integralfunktion [mm]J_a[/mm] von f ist eine Stammfunktion von
> f. "
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> Beweis: Für den Differenzenquotienten von [mm]J_a[/mm] an der Stelle
> x gilt: [mm]\bruch{J_a(x+h)-J_a(x)}{h}[/mm]
>
> Da f stetig ist, hat f im Intervall[x;x+h] einen größten
> Funktionswert [mm]M_h[/mm] und einen kleinsten Funktionswert [mm]m_h.[/mm] Es
> gilt:
> 1. [mm]m_h*h<=J_a(x+h)-J_a(x)<=M_h*h[/mm] oder
>
> 2. [mm]m_h<=\bruch{J_a(x+h)-J_a(x)}{h}<=M_h[/mm]
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> Meine Frage: Bei Nr. 1 Wird ja mit [mm]m_h*h[/mm] und mit dem
> Mittleren Teil jeweils der Flächeninhalt gemeint. Der
> entweder größer gleich [mm]m_h*h[/mm] oder kleiner gleich [mm]M_h*h[/mm] ist.
> Bei Nr. 2 Frage ich mich aber, ob dort tatsächlich das
> selbe angegeben wird. Denn [mm]m_h[/mm] und [mm]M_h[/mm] sind ja nur die
> Funktionswerte also y-Werte und das in der Mitte ist ja der
> Differenzenquotient, also die Steigung in jedem Punkt!
>
> Also hätten Nr.1 und 2 doch nicht die selbe Bedeutung?Aber
> eigentlich müsste es mathematisch ja das selbe sein, da
> bei Nr. 2 ja nur /h gerechnet wurde.
>
genau!
so lange $h [mm] \ne [/mm] 0$ gilt, sind die beiden Ungleichungen identisch in ihrer Aussage.
Und jetzt bildest du den Grenzwert:
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}{m_h} \le \limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{J_a(x_0+h)-J_a(x_0)}{h}}\le\limes_{h\rightarrow 0}{M_h}[/mm]
Bei diesem Prozess nähern sich die Werte [mm] m_h [/mm] und [mm] M_h [/mm] dem Wert [mm] f(x_0) [/mm] an (einfach mal auf die Zeichnung schauen), daher gilt:
[mm] $f(x_0) \le \limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{J_a(x_0+h)-J_a(x_0)}{h}}= J_a'(x_0) \le f(x_0)$
[/mm]
Die Ableitung von [mm] J_a(x_0) [/mm] ist gleich dem Funktionswert [mm] f(x_0) [/mm] der Ausgangsfunktion
[mm] \gdw J_a [/mm] ist  Stammfunktion von f.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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