Beweis Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 So 24.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine gerade Funktion, d.h. f(x) = f(-x) für alle x [mm] \in \IR; [/mm] f sei differenzierbar in 0. |
Moin, somit ist f'(0) = 0
vllt. erstmal die Definition von Differenzierbarkeit:
Sei f: (P [mm] \subseteq \IR) [/mm] P [mm] \to \IR, [/mm] p [mm] \in [/mm] P (ein Häufungspunkt in P)
Dann heißt f differenzierbar im Punkt p, falls der Grenzwert
a = [mm] \limes_{x\rightarrow p} \bruch{f(x) - f(p)}{x-p} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(p+h) - f(p)}{h} [/mm] existiert.
Stillschweigend wissen wir natürlich, dass x [mm] \in [/mm] p und x [mm] \not= [/mm] p und p+h [mm] \in [/mm] p und h [mm] \not= [/mm] 0
Ich muss nun die Aussage aus der Aufgabenstellung (siehe oben) beweisen, weiß nur nicht genau, wie ich vorgehen soll, wäre für einen Impuls sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 So 24.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, f ist an der Stelle 0 differenzierbar , daher existiert also [mm] f'(0)=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
[/mm]
Dabei näherst du dich der 0 von rechts. Nun guck dir mal den Differentialquotienten an, wenn du dich 0 von links näherst! Und beachte, dass f(-h)=f(h).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 So 24.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hi!
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> Ok, f ist an der Stelle 0 differenzierbar , daher existiert
> also [mm]f'(0)=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.[/mm]
> Dabei näherst du dich der 0 von rechts.
Okay, hier hast du für p = 0 eingesetzt, wieso ist nun das, was du geschrieben hast eine Annäherung von rechts? Woran erkenne ich das?
> Nun guck dir mal den Differentialquotienten an, wenn du dich 0 von links näherst! Und beachte, dass f(-h)=f(h).
Naja, logischerweise nähere ich mich, da f(-h)=f(h), ebenso der 0 an, weiß halt nur nicht, was sich nun hier in bei der Einsetzung in der Gleichung bzgl. der rechtsseitigen Annäherung unterscheidet ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 24.06.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anazeug!
> Okay, hier hast du für p = 0 eingesetzt, wieso ist nun
> das, was du geschrieben hast eine Annäherung von rechts?
> Woran erkenne ich das?
Weil dort steht $f(0 \ [mm] \red{+} [/mm] \ h)$ .
> > Nun guck dir mal den Differentialquotienten an, wenn du
> dich 0 von links näherst! Und beachte, dass f(-h)=f(h).
>
> Naja, logischerweise nähere ich mich, da f(-h)=f(h),
> ebenso der 0 an, weiß halt nur nicht, was sich nun hier in
> bei der Einsetzung in der Gleichung bzgl. der
> rechtsseitigen Annäherung unterscheidet ...
Für die linksseitige Annäherung gilt es dann, den Term $f(0 \ [mm] \red{-} [/mm] \ h)$ einzusetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 So 24.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar, ich danke euch beiden! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Hey,
zwar bin ich mir relativ sicher, dass ich alles verstanden habe, würde aber gerne zusammenfassen und mir nochmal versichern lassen, dass ichs gecheckt habe:
Im Prinzip schaue ich mir den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an:
Rechtsseitig: f'(0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h) - f(0)}{h} [/mm]
Linksseitig: f'(0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(-h) - f(0)}{h} [/mm]
f(-h) = f(h) laut Voraussetzung
Also Näherung der 0 von rechts und links.
Somit ist f differnzierbar bei 0.
Sollte man irgendetwas näher erläutern, oder ist es so akzeptabel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch nicht zu zeigen, dass f diffbar bei 0, sondern dass f'(0)=0
es gilt [mm] f(h)=f(0)+f'(0)*h+o(h^2)
[/mm]
[mm] f(-h)=f(0)+f'(0)*(-h)+o(h^2)
[/mm]
kannst du damit oder mit dem Mittelwertsatz was machen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo
> du hast doch nicht zu zeigen, dass f diffbar bei 0,
> sondern dass f'(0)=0
> es gilt [mm]f(h)=f(0)+f'(0)*h+o(h^2)[/mm]
> [mm]f(-h)=f(0)+f'(0)*(-h)+o(h^2)[/mm]
> kannst du damit oder mit dem Mittelwertsatz was machen?
> Gruss leduart
Wie kommt man nun darauf?
Wir hatten den Mittelwertsatz noch nicht, was sagt dieser aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
[mm] f'(0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h)-f(0)}{h}heisst [/mm] doch nichts anderes [mm] als|f'(0)-\bruch{f(h)-f(0)}{h}|<\epsilon [/mm] für h< [mm] \delta [/mm] , forme das nach f(h) um dann hast du f(h)=f(0)+f'(0)*h [mm] \pm \epsilon [/mm] für [mm] \epsilon [/mm] bel klein für entsprechend kleine h.
so die Darstellung, wenn du das [mm] o(h^2) [/mm] nicht kennst.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:48 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> Hey,
>
> zwar bin ich mir relativ sicher, dass ich alles verstanden
> habe, würde aber gerne zusammenfassen und mir nochmal
> versichern lassen, dass ichs gecheckt habe:
>
> Im Prinzip schaue ich mir den linksseitigen und
> rechtsseitigen Grenzwert an:
>
> Rechtsseitig: f'(0) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h) - f(0)}{h}[/mm]
> Linksseitig: f'(0) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(-h) - f(0)}{h}[/mm]
>
> f(-h) = f(h) laut Voraussetzung
was hier ein bisschen schlecht ist und auch gerne für Verwirrung sorgt, ist, dass das [mm] $h\,$ [/mm] in den jeweiligen Limes nicht das gleiche ist. Vielmehr müßtest Du besser so anfangen:
Nach Voraussetzung wissen wir, dass [mm] $f\,'(0)$ [/mm] mit dem linksseitigen Grenzwert [mm] $\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(0-h)-f(0)}{h}=f\;'(0^-)=:L$ [/mm] (beachte, dass in dieser Notation $h [mm] \red{\;> }\;0$ [/mm] steht!) und auch dem rechtsseitigen [mm] $\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f\;'(0^+)=:R$ [/mm] übereinstimmt.
Weiter weißt Du
[mm] $$0=\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0-h)}{h}\,.$$
[/mm]
Jetzt schmuggel mal in DIESEN LETZTSTEHENDEN Limes die beiden anderen, [mm] $R\,$ [/mm] und [mm] $L\,$ [/mm] ein! (Tipp: [mm] $f(0+h)-f(0-h)=(f(0+h)-f(0))-(f(0-h)-f(0))\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Worauf ich eigentlich hinaus wollte ist folgendes:
Es gilt einerseits [mm] $f'(0)=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$ [/mm] (Grenzwert von rechts, falls h eine Nullfolge mit positiven Gliedern ist), aber andererseits gilt [mm] $f'(0)=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(-h)-f(0)}{-h}$ [/mm] (Grenzwert von links, falls h eine Nullfolge mit positiven Gliedern ist).
Nun ist aber [mm] $f'(0)=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=-f'(0)$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine gerade Funktion, d.h. f(x) = f(-x)
> für alle x [mm]\in \IR;[/mm] f sei differenzierbar in 0.
>
>
>
> Moin, somit ist f'(0) = 0
mal generell: Ist [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] diff'bar, so gilt
[mm] $$f\,'(x_0^+)=\lim_{0 < h \to 0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$$
[/mm]
und
[mm] $$f\,'(x_0^-)=\lim_{0 < h \to 0}(f(x_0-h)-f(x_0))/h\,,$$
[/mm]
womit Du Dir leicht überlegen kannst, dass
[mm] $$(\*)\;\;\;\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=f\,'(x_0^+)+f\,'(x_0^-)\,.$$
[/mm]
Daraus folgt bei Dir wegen [mm] $f\,'(0)=f\,'(0^+)=f\,'(0^-)$ [/mm] die Behauptung.
(Denn: Bei geradem [mm] $f\,$ [/mm] folgt in [mm] $(\*)$ [/mm] ist linkerhand [mm] $f(0+h)-f(0-h)=0\,,$ [/mm] und rechterhand ergibt sich [mm] $f\,'(0^+)+f\,'(0^-)=2*f\,'(0)\,$ [/mm] wegen der Differenzierbarkeit von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $0\,.$)
[/mm]
P.S.
Was wir oben auch sehen: Der Differentialquotient [mm] $f\,'(x_0)$ [/mm] ist der Mittelwert aus dem rechtsseitigen und linksseitigen Differentialquotienten! (Was natürlich auch irgendwie langweilig ist, weil die beiden ja mit [mm] $f\,'(x_0)$ [/mm] übereinstimmen...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:00 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Vielen Dank Marcel, hast es sehr anschaulich erklärt! :)
Schließlich, durch den "Nulltrick", also das reinschmuggeln von + f(0) und - f(0) komm ich auf f(0+) und f(0-) und somit auf f(0) = 0 :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:23 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> Vielen Dank Marcel, hast es sehr anschaulich erklärt! :)
>
> Schließlich, durch den "Nulltrick", also das
> reinschmuggeln von + f(0) und - f(0) komm ich auf f(0+) und
> f(0-)
Du meinst sicher [mm] $f\,\red{'}(0+)$ [/mm] und [mm] $f\,\red{'}(0-)\,.$ [/mm]
> und somit auf f(0) = 0 :)
Wieder meinst Du sicher [mm] $f\,\red{'}(0)\,.$ [/mm]
Aber sonst: Ja. Was Du eigentlich machst, ist, zu verwenden (wir kennen ja die Rechengesetze für's Rechnen mit Grenzwerten!):
[mm] $$(\*)\;\;\;\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\frac{1}{2}\left(\Big(\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\Big)+\Big(\lim_{h \to 0}\frac{f(x-h)-f(x)}{h}\Big)\right)\,.$$
[/mm]
Den Term linkerhand [mm] $\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ [/mm] verwendet man auch gerne in der Numerik...
P.S.
Natürlich bleibt [mm] $(\*)$ [/mm] richtig, wenn ich dort überall unter dem Limes nur $0 < [mm] h\,$ [/mm] oder auch $0 > [mm] h\,$ [/mm] zusätzlich fordere - sofern [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar in [mm] $x\,$ [/mm] jedenfalls!
Gruß,
Marcel
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