Beweis, Diffrenzialgleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute!
Wir hatten im Unterricht behauptet das eine Exponentialfunktion immer durch die Diffrenzialgleichung f'(t)=p*f(t) beschrieben wird. Diese Gleicjung sagt aus das f'(t) proportional zu f(t) ist.
Nun hatten wir noch eine Behauptung aufgestellt: g(x) hat die Gestalt von f(x), d.h. stellt exp. Wachstum dar.
Wir haben den Ansatz das zu Beweisen vom Lehrer und zwar mit der Gleichung: [mm] h(x)=g(x)*e^{-p*x}, [/mm] die wir zu Morgen weiterführen sollten.
Ich hab erstmal diese Funktion abgeleitet mit der Produktregel und bin zum Ergebnis gekommen [mm] h'(x)=g'(x)*e^{-p*x}+g(x)*(-p)*e^{-p*x}
[/mm]
Da wir ja behauptet haben das g'(x)=p*g(x) ist, hab ich das für g'(x) eingesetzt und mein Ergebnis war [mm] h'(x)=p*g(x)*e^{p*x}(1-1)
[/mm]
daraus Ergibt sich
h'(x)=0
Meine Frage ist jetzt was mir dieses h'(x) jetzt aussagt und ob mein Ansatz und Denkweise richtig sind?
Gruß
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Hallo defjam123,
das sind sehr gute Überlegungen von dir ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Was sagt dir denn dein Ergebnis $h'(x)=0$ für alle x über h aus?
Wie muss h beschaffen sein, damit die Ableitung an jeder Stelle 0 ist?
Wenn du h hast, setze es mal in die Gleichung für h(x)=... ein und stelle nach g(x) um.
Dann noch die Probe: kannst du g'(x)=pg(x) darstellen?
Du bist gaaaanz kurz vor dem Ziel 
LG
schachuzipus
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danke für deine Hilfe
Die Ableitung einer Funktion sagt uns immer wie die Steigung in diesem Punkt ist. h'(x)=0 sagt uns aus, dass die abgeleitete Funktion auf der x-Achse verläuft. Das heißt doch das die Steigung an dem Punkt genau 0 ist(und das für alle x werte)? h muss dann gleich 0 sein, damit die Ableitung 0 ergibt. Dann hätt ich die Gleichung [mm] 0=g'(x)*e^{-px}+g(x)*(-p)*e^{-px}. [/mm]
umgeformt dann: [mm] g(x)*p*e^{-px}=g'(x)*e^{-px}
[/mm]
Wenn wir jetzt die rechte Seite durch [mm] e^{-px} [/mm] teilen, erhalten wir g(x)*p=g'(x)
Wär das richtig?
Gruss
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Hallo,
fast, aber $h(x)=0$ ist zu speziell.
Es kann irgendeine Konstante, sagen wir c sein.
Also $h(x)=c$ mit [mm] $c\in\IR$, [/mm] also irgendeine Parallele zur x-Achse
Dann ist h'(x)=0 für alle x
Außerdem meinte ich die andere Gleichung
[mm] $h(x)=g(x)\cdot{}e^{-px}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] g(x)=....$
LG
schachuzipus
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ok danke
dann formen wir die Gleichung mal um:
[mm] \bruch{h(x)}{g(x)}=e^{-p*x}
[/mm]
setzen wir jetzt c ein, erhalten wir [mm] \bruch{c}{g(x)}=e^{-p*x} [/mm] und das ist [mm] g(x)=\bruch{c}{e^{-p*x}}
[/mm]
Zeigt uns das dann das die Exponentialfuntkion mit der erwähnten Diffrenzialgleichung beschrieben wird?
Gruss
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Hallo nochmal,
ich meinte es etwas anders
Also wir haben rausgefunden - bzw. DU hast rausgefunden, dass h'(x)=0 ist für alle x
Also ist h(x)=c eine konstante Funktion.
Das setzen wir nun in die Gleichung [mm] $h(x)=g(x)\cdot{}e^{-px}$ [/mm] ein
Also [mm] $c=g(x)\cdot{}e^{-px}\qquad\mid \cdot{}e^{px}$ [/mm] auf beiden Seiten
[mm] $\Rightarrow g(x)=c\cdot{}e^{px}$
[/mm]
Und wonach sieht diese Funtionsvorschrift aus?
Und was gibt das abgeleitet?
LG
schachuzipus
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Hey
Mit [mm] g(x)=c\cdot{}e^{px}$ [/mm] haben wir eine Funktion die den exponentiellen Wachstum beschreibt. Leiten wir die Funktion ab, erhalten wir [mm] g'(X)=p*c*e^{px}. [/mm] Ersetzten wir jetzt [mm] c*e^{px} [/mm] erhalten wir g'(x)=p*g(x).Damit wird jetzt gezeigt, dass mit dieser Diffrenzialgleichung der exponentielle Wachstum beschrieben wird
Danke für deine Hilfe
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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