Beweis Eigenraum Teilmengen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Do 10.04.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Es seie A,B [mm] \in GL_n(\IC) [/mm] mit AB=BA.
a) Zeigen sie: Ist [mm] V_\lambda [/mm] der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A, und [mm] B(V_\lambda)=\left\{B(v)|v\in V_\lambda\right\}, [/mm] dann ist [mm] B(V_\lambda)\subset V_\lambda
[/mm]
b) Zeigen SIe: Es gibt einen Vektor, der zugleich Eigenvektor von A und von B ist. |
Ic hatte leider noch keine Zeit, mich genauer mit der Aufgabe zu befassen...ich stelle sie aber trotzdem schon mal online in der Hoffnung auf Anregungen und werde mich in den nächsten Tagen auch dazu äußern.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Do 10.04.2008 | | Autor: | pinked |
Ich denke die a) geht mit der Definition relativ gut, doch an der b) hänge ich nun schon länger u komme einfach auf keinen richtigen Ansatz... Wäre über nen Tip auch sehr froh =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Do 10.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich denke die a) geht mit der Definition relativ gut, doch
> an der b) hänge ich nun schon länger u komme einfach auf
> keinen richtigen Ansatz... Wäre über nen Tip auch sehr froh
> =)
Betrachte den Endomorphismus, der durch $B$ induziert wird, und schraenke ihn auf [mm] $V_\lambda$ [/mm] ein. Dort kann man ihn wieder ueber eine Matrix beschreiben (bzgl. irgendeiner Basis, egal welcher). Nun hat diese Matrix wieder einen Eigenwert. Schau dir mal einen Eigenvektor dazu an.
LG Felix
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> Ic hatte leider noch keine Zeit, mich genauer mit der
> Aufgabe zu befassen...ich stelle sie aber trotzdem schon
> mal online in der Hoffnung auf Anregungen und werde mich in
> den nächsten Tagen auch dazu äußern.
> MfG
Hallo,
Du bist nun schon eine Weile bei uns, und es sollte Dir bekannt sein, daß wir eigene Lösungsansätze von Dir erwarten.
Bitte poste in Zukunft Deine Aufgaben mit eigenen Überlegungen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mo 14.04.2008 | | Autor: | side |
Ich bin jetzt soweit gekommen (zugegeben, dass ist nicht sehr viel...):
Sei [mm] w\in B(V_\lambda) [/mm] beliebig. [mm] \Rightarrow \exists v\in V_\lambda:B(w)=v
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists v\in Ker(A-\lambda E_n):B(w)=v
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mo 14.04.2008 | | Autor: | side |
allerdings hab ich jetzt meine Frage vergessen:
Bin also bis dahin gekommen, wie kann ich aber nun die Vorraussetzung AB=BA einbringen und wie komme ich dann dahin, dass das gewählte w auch in [mm] V_\lambda [/mm] sein muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Mathek |
Ich habs mal bisschen anders versucht.
Annahme:
[mm] Eig(a,\lambda) [/mm] = $ [mm] V_\lambda [/mm] $ und B($ [mm] V_\lambda [/mm] $) = Menge aller B(v) mit v element $ [mm] V_\lambda [/mm] $
Behauptung:
B($ [mm] V_\lambda [/mm] $ ) C $ [mm] V_\lambda [/mm] $
Das heisst denke ich nichts anderes als das in der Menge B($ [mm] V_\lambda [/mm] $ ) nur Eigenvektoren von $ [mm] V_\lambda [/mm] $ drin sind.
*Einschub*
Nach Def. ist v ein Eigenvektor wenn gilt: f(v) = [mm] \lambda [/mm] v
für uns hier wichtig: A(v) = [mm] \lambda [/mm] v
Also muss man zeigen das A(B(v)) = [mm] \lambda [/mm] B(v)
also A(B(v)) = A*B*v = B*A*v = B* [mm] \lambda*v [/mm] = [mm] \lambda [/mm] B(v)
Ich glaube das müsste so gehen. Bitte um Feedback.
mfg Mathek
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> Ich glaube das müsste so gehen. Bitte um Feedback.
Hallo,
Du hast's richtig gemacht.
Gruß v. Angela
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> Ich bin jetzt soweit gekommen (zugegeben, dass ist nicht
> sehr viel...):
> Sei [mm]w\in B(V_\lambda)[/mm] beliebig. [mm]\Rightarrow \exists v\in V_\lambda:B(w)=v[/mm]
Hallo,
das stimmt nicht. Überleg nochmal genau, wei die Beziehung zwischen B, v und w ist.
Wenn Du das hast, wende A auf Deine Gleichung an.
Gruß v. Angela
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