Beweis Elementarmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeige: Jede invertierbare Matrix ist Produkt von Elementarmatrizen. |
Hallo,
Die einzige Idee, die ich bisher habe ist, dass man vielleicht damit anfangen könnte, dass eine invertierbare Matrix auf Zeilenstufenform gebracht werden kann. Die sieht dann ja auch schon einer Elementarmatrix ganz ähnlich...
Kann mir bitte jemand erklären oder wenigstens einen Tipp geben, wie ich das beweisen soll?
Lg
Karotte
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Gilga |
invertierbare Matrix auf Zeilenstufenform gebracht werden kann
JA!
Und die Elementarmatrizen entsprechen den Umformungen um Zeilenstufenform zu erhalten.
Also invertierbare Matrix -> Elementarmatrizen -> Einheitsmatrix
|
|
|
| |
|
Danke für den Tipp, dann lag ich mit meiner Vermutung gar nicht so falsch... Ich weiß aber leider immer noch nicht, wie ich das beweisen soll.
Ich sollte nochmal genauer mein Problem darstellen:
Ich habe einfach eine 2x2 Matrix genommen und diese auf Zeilenstufenform gebracht:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }=
[/mm]
[mm] \pmat{ ac & bc \\ ac & ad }=
[/mm]
[mm] \pmat{ ac & bc \\ 0 & ad-bc }=
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & 1 }=
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ 0 & 1 }
[/mm]
Jetzt habe ich eine invertierbare Matrix.
Wie zeige ich nun, dass sie ein Produkt von Elementarmatrizen ist?
Gruß
Karotte
EDIT:
Wenn ich [mm] \pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ 0 & 1 } [/mm] invertiere, dann bekomme ich:
[mm] \pmat{ 1 & -(\bruch{b}{a}) \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ 0 & 1 } \cdot \pmat{ 1 & -(\bruch{b}{a}) \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Jetzt habe ich eine Einheitsmatrix...
Kann man das als Beweis gelten lassen, oder fehlt mir noch was?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 10.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
