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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Definition von Konvergenz, dass
lim [mm] \bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] n\to\infty [/mm] |
Hallo!
ich hab mich mal an dieser Aufgabe probiert und würde gerne wissen,ob ich auf dem richtigen Weg bin:
Sei [mm] \varepsilon>0, [/mm] n>N, [mm] N>\varepsilon
[/mm]
[mm] \left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|<\bruch{N}{N^2+1}<\bruch{\varepsilon}{\varepsilon^2+1}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Hab ich das so richtig gemacht?
Ich bin dankbar über jede Hilfe ;)
Grüße
Neuling
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 28.10.2010 | | Autor: | leduart |
> Zeigen Sie mit Hilfe der Definition von Konvergenz, dass
>
> lim [mm]\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]n\to\infty[/mm]
> Hallo!
>
> ich hab mich mal an dieser Aufgabe probiert und würde
> gerne wissen,ob ich auf dem richtigen Weg bin:
> Sei [mm]\varepsilon>0,[/mm] n>N, [mm]N>\varepsilon[/mm]
das letzte ist weder sinnvoll noch richtig.
nimm etwa [mm] \epsilon=0.1; N=1>\epsilon [/mm] dann ist dein Betrag > [mm] \epsilon
[/mm]
Man kann [mm] N(\epsilon) [/mm] praktisch immer erst in der Rechnung rausfinden!
jetzt zu den Fehlern deiner Rechnung:
[mm] \left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|
[/mm]
im Zähler steht 2n nicht n
Wie begründest du das folgende < Zeichen der Zähler wird kleiner, der Nenner auch warum sollte der Bruch größer werden? dsselbe gilt für das nächste
du kannst aber für n>1 [mm] \left|\bruch{n}{n^2+1}\right|<\left|\bruch{n}{n^2}\right| [/mm] schreiben, du hast den Nenner verkleinert und damit den Bruch vergrößert. Damit solltest du weiter kommen und ein einfaches [mm] N(\epsilon [/mm] finden)
[mm] <\bruch{N}{N^2+1}<\bruch{\varepsilon}{\varepsilon^2+1}<\varepsilon
[/mm]
>
> [mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|<\bruch{N}{N^2+1}<\bruch{\varepsilon}{\varepsilon^2+1}<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Hab ich das so richtig gemacht?
Nicht ganz, aber aller anfang ist schwer!
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
tja das war wohl ein Griff ins Klo ;/
> nimm etwa [mm]\epsilon=0.1; N=1>\epsilon[/mm] dann ist dein Betrag
> > [mm]\epsilon[/mm]
> Man kann [mm]N(\epsilon)[/mm] praktisch immer erst in der Rechnung
> rausfinden!
hab ich eingesehen 
> jetzt zu den Fehlern deiner Rechnung:
>
> [mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm]
>
> im Zähler steht 2n nicht n
sollte hier [mm] \left|\bruch{2n}{n^2+1}\right| [/mm] heraus kommen??
Ich habe es mit wolframalpha überprüft und der spuckt mir [mm] \left|\bruch{n}{n^2+1}\right| [/mm] raus
> du kannst aber für n>1
> [mm]\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|<\left|\bruch{n}{n^2}\right|[/mm]
> schreiben, du hast den Nenner verkleinert und damit den
> Bruch vergrößert. Damit solltest du weiter kommen und ein
> einfaches [mm]N(\epsilon[/mm] finden)
Ok 2. Versuch:
n>N und [mm] N=1>\bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
[mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm][mm] <\left|\bruch{n}{n^2}\right|= \left| \bruch{1}{n} \right| <\left| \bruch{1}{N} \right| [/mm] < [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon} } =\varepsilon
[/mm]
Richtiger??
Grüße
Neuling
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Hallo Neuling88 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo Leduart,
> tja das war wohl ein Griff ins Klo ;/
>
> > nimm etwa [mm]\epsilon=0.1; N=1>\epsilon[/mm] dann ist dein Betrag
> > > [mm]\epsilon[/mm]
> > Man kann [mm]N(\epsilon)[/mm] praktisch immer erst in der
> Rechnung
> > rausfinden!
>
> hab ich eingesehen
>
> > jetzt zu den Fehlern deiner Rechnung:
> >
> >
> [mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm]
> >
> > im Zähler steht 2n nicht n
>
> sollte hier [mm]\left|\bruch{2n}{n^2+1}\right|[/mm] heraus kommen?? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hat leduart bestimmt die 2 im Nenner überlesen ...
> Ich habe es mit wolframalpha überprüft und der spuckt
> mir [mm]\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm] raus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Rechne doch mit Papier und Bleistift nach, Brüche addieren ist ja jetzt kein Hauptstudiumsstoff.
Ohne Betragstriche: [mm]\frac{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\frac{1}{2}=\frac{n^2+2n+1}{2(n^2+1)}-\frac{1}{2}=\frac{n^2+2n+1}{2(n^2+1)}-\frac{n^2+1}{2(n^2+1)}=\ldots[/mm]
Was kommt wohl spannendes heraus?
>
>
> > du kannst aber für n>1
> > [mm]\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|<\left|\bruch{n}{n^2}\right|[/mm]
> > schreiben, du hast den Nenner verkleinert und damit den
> > Bruch vergrößert. Damit solltest du weiter kommen und ein
> > einfaches [mm]N(\epsilon[/mm] finden)
>
> Ok 2. Versuch:
>
> n>N und [mm]N=1>\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
Wieso wählst du [mm]N=1[/mm] und wieso sollte das [mm]>\frac{1}{\varepsilon}[/mm] sein, das stimmmt doch für kleine [mm]\varepsilon[/mm] (die man ja eigentlich betrachtet) nicht, je keiner [mm]\varepsilon[/mm], desto größer [mm]\frac{1}{\varepsilon}[/mm]
Die folgende Zeile zeigt dir doch, wie du [mm]N[/mm] wählen kannst (du hast es ja implizit getan!
>
> [mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm][mm] <\left|\bruch{n}{n^2}\right|= \left| \bruch{1}{n} \right| <\left| \bruch{1}{N} \right|[/mm]
Ja, Beträge kannst du weglassen, ist alles positiv hier
> < [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon} } =\varepsilon[/mm]
Ja, so sollte es sein! Mit welcher Wahl von [mm]N[/mm] also?
> Richtiger??
Ja, aber es geht noch "richtiger"
>
> Grüße
> Neuling
Gruß
schachuzipus
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Hallo zusammen,
> >
> > Ok 2. Versuch:
> >
> > n>N und wähle also [mm]N=\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> Die folgende Zeile zeigt dir doch, wie du [mm]N[/mm] wählen kannst
> (du hast es ja implizit getan!
>
> >
> >
> [mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm][mm] <\left|\bruch{n}{n^2}\right|= \left| \bruch{1}{n} \right| <\left| \bruch{1}{N} \right|[/mm]
>
>
> Ja, Beträge kannst du weglassen, ist alles positiv hier
>
> > < [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon} } =\varepsilon[/mm]
>
> Ja, so sollte es sein! Mit welcher Wahl von [mm]N[/mm] also?
>
> > Richtiger??
>
> Ja, aber es geht noch "richtiger"
>
>
>
> >
> > Grüße
> > Neuling
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Ist es nu richtig?
Danke für eure Hilfe!![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
Grüße
Neuling
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Do 28.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
fast richtig, ausser nicht [mm] N=1>\epsilon, [/mm] sondern wenn du bei
> >
> [mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm]
> >
> > im Zähler steht 2n nicht n
>
> sollte hier [mm]\left|\bruch{2n}{n^2+1}\right|[/mm] heraus kommen??
> Ich habe es mit wolframalpha überprüft und der spuckt
> mir [mm]\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm] raus
du hast recht, ich hatte die 2 im Nenner übersehen!
>
> Ok 2. Versuch:
>
> n>N und [mm]N=1>\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
du meinst nich N=1 sondern nur [mm] $N>\bruch{1}{\varepsilon}$
[/mm]
besser erst rechnen bis :
[mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm][mm] <\left|\bruch{n}{n^2}\right|= \left| \bruch{1}{n} \right| <\left| \bruch{1}{N} \right|[/mm]
hierhin, und dann mit [mm] N\ge 1/\epsilon [/mm]
gilt dann:
> < [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon} } =\varepsilon[/mm]
>
> Richtiger??
gibts nicht nur richtig oder falsch, und es war praktisch richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Do 28.10.2010 | | Autor: | abakus |
> > Zeigen Sie mit Hilfe der Definition von Konvergenz, dass
> >
> > lim [mm]\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> > [mm]n\to\infty[/mm]
> > Hallo!
> >
> > ich hab mich mal an dieser Aufgabe probiert und würde
> > gerne wissen,ob ich auf dem richtigen Weg bin:
> > Sei [mm]\varepsilon>0,[/mm] n>N, [mm]N>\varepsilon[/mm]
> das letzte ist weder sinnvoll noch richtig.
>
> nimm etwa [mm]\epsilon=0.1; N=1>\epsilon[/mm] dann ist dein Betrag
> > [mm]\epsilon[/mm]
> Man kann [mm]N(\epsilon)[/mm] praktisch immer erst in der Rechnung
> rausfinden!
> jetzt zu den Fehlern deiner Rechnung:
>
> [mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|[/mm]
>
> im Zähler steht 2n nicht n
Und im Nenner steht [mm] 2n^2+2. [/mm] Wenn er jetzt mit 2 kürzt, kommt er genau auf sein richtiges Zwischenergebnis.
Gruß Abakus
> Wie begründest du das folgende < Zeichen der Zähler wird
> kleiner, der Nenner auch warum sollte der Bruch größer
> werden? dsselbe gilt für das nächste
>
> du kannst aber für n>1
> [mm]\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|<\left|\bruch{n}{n^2}\right|[/mm]
> schreiben, du hast den Nenner verkleinert und damit den
> Bruch vergrößert. Damit solltest du weiter kommen und ein
> einfaches [mm]N(\epsilon[/mm] finden)
>
> [mm]<\bruch{N}{N^2+1}<\bruch{\varepsilon}{\varepsilon^2+1}<\varepsilon[/mm]
> >
> >
> [mm]\left|\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+2}-\bruch{1}{2}\right|=...=\left|\bruch{n}{n^2+1}\right|<\bruch{N}{N^2+1}<\bruch{\varepsilon}{\varepsilon^2+1}<\varepsilon[/mm]
> >
> > [mm]\Box[/mm]
> >
> > Hab ich das so richtig gemacht?
> Nicht ganz, aber aller anfang ist schwer!
> Gruss leduart
>
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