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| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler in G und U,V Untergruppen von G mit der Eigenschaft [mm]U\cap N = V \cap N = \{1\}[/mm]. Außerdem seien [mm] $U,V\not=\{1\}$.
[/mm]
Zeigen Sie: Ist [mm]N[/mm] eine maximale Untergruppe (d.h. für alle [mm]H \subset G[/mm] Untergruppe mit [mm]N\subset G[/mm] folgt [mm]H = N[/mm] oder [mm]H = G[/mm]), so sind U und V isomorph. |
Hallo!
Hier mal ein kleines Bild zur "Übersicht"
I--- G ---I
I I I
I I I
U N V
I I
I I
I-- {1} --I
Ich habe ehrlich gesagt keinen richtigen Ansatz. Ein Widerspruchsbeweis bietet sich glaube ich nicht an, weil "Nicht-Isomorphie" mir keine Anhaltspunkte liefert.
Für Isomorphie müsste ich eine Abbildung von U nach V definieren. Aber wenn ich ein [mm]u\in U[/mm] habe, wie komme ich dann an ein [mm] v\in [/mm] V.
Ich wäre für einen Ansatz dankbar...
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:13 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Es sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler in G und U,V
> Untergruppen von G mit der Eigenschaft [mm]U\cap N = V \cap N = \{1\}[/mm].
>
> Zeigen Sie: Ist [mm]N[/mm] eine maximale Untergruppe (d.h. für alle
> [mm]H \subset G[/mm] Untergruppe mit [mm]N\subset G[/mm] folgt [mm]H = N[/mm] oder [mm]H = G[/mm]),
> so sind U und V isomorph.
Es ist [mm] $N\:$ [/mm] Normalteiler in [mm] $G\:$, [/mm] damit kannst du die Gruppe der Restklassen [mm] $G/N\:$ [/mm] betrachten.
Da [mm] $N\:$ [/mm] maximale Untergruppe [mm] $G\:$ [/mm] ist, ist [mm] $\{1\}$ [/mm] maximale Untergruppe in [mm] $G/N\:$
[/mm]
Bezeichne [mm] $\pi$ [/mm] die kanonische Projektion $G [mm] \twoheadrightarrow [/mm] G/N$, dann sind [mm] $\pi(U), \pi(V)$ [/mm] Untergruppen in [mm] $G/N\:$.
[/mm]
Kommst du damit weiter?
LG Lippel
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Hallo Lippel,
danke für deine Antwort!
Einige dieser Schritte hätte ich nie in Erwägung gezogen...
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich eine Voraussetzung vergessen habe, die ich jetzt brauch: $U,V [mm] \not= \{1\}$.
[/mm]
> > Es sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler in G und U,V
> > Untergruppen von G mit der Eigenschaft [mm]U\cap N = V \cap N = \{1\}[/mm].
>
> >
> > Zeigen Sie: Ist [mm]N[/mm] eine maximale Untergruppe (d.h. für alle
> > [mm]H \subset G[/mm] Untergruppe mit [mm]N\subset G[/mm] folgt [mm]H = N[/mm] oder [mm]H = G[/mm]),
> > so sind U und V isomorph.
>
>
> Es ist [mm]N\:[/mm] Normalteiler in [mm]G\:[/mm], damit kannst du die Gruppe
> der Restklassen [mm]G/N\:[/mm] betrachten.
> Da [mm]N\:[/mm] maximale Untergruppe [mm]G\:[/mm] ist, ist [mm]\{1\}[/mm] maximale
> Untergruppe in [mm]G/N\:[/mm]
> Bezeichne [mm]\pi[/mm] die kanonische Projektion [mm]G \twoheadrightarrow G/N[/mm],
> dann sind [mm]\pi(U), \pi(V)[/mm] Untergruppen in [mm]G/N\:[/mm].
Da [mm] \{1\} [/mm] die maximale Untergruppe in G/N ist, kommt somit für [mm] $\pi(U)$ [/mm] und [mm] $\pi(V)$ [/mm] jeweils nur [mm] $\{\overline{1}\}$ [/mm] oder $G/N$ in Frage.
$U$ besitzt wegen $U [mm] \cap [/mm] N = [mm] \{1\}$, $U\not=\{1\}$ [/mm] mindestens ein Element, dass nicht in N enthalten ist.
Damit ist [mm] $\pi(U) [/mm] = G/N$. Analog ist [mm] $\pi(V) [/mm] = G/N$.
Muss ich jetzt noch zeigen, dass $U$ isomorph zu $G/N$ ist? Ich habe ja schonmal einen surjektiven Gruppenhomomorphimus angegeben. Die Injektivität folgt so:
[mm] $\pi(u_1) [/mm] = [mm] \overline{u_1} [/mm] = [mm] \overline{u_2} [/mm] = [mm] \pi(u_2)$
[/mm]
Damit [mm] $u_2*u_1^-1 \in [/mm] N$.
Damit, weil linke Seite in $U$ und [mm] $U\cap [/mm] N = [mm] \{1\}$ [/mm] folgt [mm] $u_2 [/mm] = [mm] u_1$.
[/mm]
So gut  ?
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Muss ich jetzt noch zeigen, dass [mm]U[/mm] isomorph zu [mm]G/N[/mm] ist? Ich
> habe ja schonmal einen surjektiven Gruppenhomomorphimus
> angegeben. Die Injektivität folgt so:
>
> [mm]\pi(u_1) = \overline{u_1} = \overline{u_2} = \pi(u_2)[/mm]
>
> Damit [mm]u_2*u_1^-1 \in N[/mm].
> Damit, weil linke Seite in [mm]U[/mm] und
> [mm]U\cap N = \{1\}[/mm] folgt [mm]u_2 = u_1[/mm].
>
>
> So gut ?
Sieht gut aus. Alternativ kannst du die Injektivität auch so begründen:
Für [mm] $\pi: [/mm] G [mm] \twoheadrightarrow [/mm] G/N$ gilt [mm] $ker\: \pi [/mm] = N$. Damit hat die Einschränkung [mm] $\pi|_U$ [/mm] von [mm] $\pi$ [/mm] auf [mm] $U\:$ [/mm] trivialen Kern, da $U [mm] \cap [/mm] N = [mm] \{1\}$. [/mm] Die Surjektivität bleibt bei der Einschränkung erhalten, das hast du ja gezeigt, damit gilt $U [mm] \cong [/mm] G/N$ und analog $V [mm] \cong [/mm] G/N$.
LG Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Sa 19.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
Schau dir doch mal den 1. Isomorphiesatz an.
> Es sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler in G und U,V
> Untergruppen von G mit der Eigenschaft [mm]U\cap N = V \cap N = \{1\}[/mm].
>
> Zeigen Sie: Ist [mm]N[/mm] eine maximale Untergruppe (d.h. für alle
> [mm]H \subset G[/mm] Untergruppe mit [mm]N\subset G[/mm] folgt [mm]H = N[/mm] oder [mm]H = G[/mm]),
> so sind U und V isomorph.
Die Aussage stimmt leider nicht. Sei $G = [mm] \IZ/p\IZ \times \IZ/p\IZ$, [/mm] $U = [mm] \IZ/p\IZ \times \{ 0 \}$, [/mm] $V = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] und $N = [mm] \{ 0 \} \times \IZ/p\IZ$. [/mm] Dann sind die Voraussetzungen alle erfuellt, jedoch gilt nicht $U [mm] \cong [/mm] V$.
Du brauchst noch als Voraussetzung, dass beide Untergruppen nichttrivial sind. (Oder beide trivial, aber dann ist die Aufgabe trivial :) )
LG Felix
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Hallo,
danke für deine Bemerkung Felix, ich habs geändert.
Grüße,
Stefan
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