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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Do 28.10.2004 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Ich hab ein Problem mit meinem Übungszettel und bräuchte Eure Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Seien A und B Ideale in einem kommutativen Ring mit Einselement. Man definiert das Produkt AB als das Ideal, welches von der Menge {ab| a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B} erzeugt wird und man definiert die Summe A+B als das von A [mm] \cup [/mm] B erzeugte Ideal. Zeigen Sie:
1.) Wenn A+B ein Hauptideal ist, dann gilt (A [mm] \cap [/mm] B)(A+B) = AB.
2.) R sei nullteilerfrei, und für ein Hauptideal I gelte AI = BI.
Dann folgt A = B oder I = 0
Zur 2 hab ich eine Idee. Allerdings glaub ich selber nicht an ihre Richtigkeit, da sie viiieeel zu einfach ist (war mehr ne "Verzweiflungsidee"). Ich muss auch dazu sagen, dass mir das Thema noch nicht so ganz klar ist. Wir haben nämlich einen neuen Dozenten, der das alles vorraussetzt, obwohl wir das noch nicht gemacht haben. Hab mich zwar damit beschäftigt, aber eben noch nicht alles verstanden. Schlagt also bitte nicht die Hände überm Kopf über meinen Lösungsvorschlag zusammen 
Also, mein Vorschlag:
2) Ich habe zwischen zwei Fällen unterschieden.
1. Fall: I [mm] \ne [/mm] 0
AI = BI (hier habe ich durch I geteilt. Bezweifle aber, dass ich das einfach so darf)
=> A=B
2. Fall: I = 0
A 0 = B 0
=> 0 = 0
Danke schon mal für Eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Didi,
Allgemein rate ich dir, bei Aufgaben zum Nachweis von Mengengleichheit immer so vorzugehen: Du zeigst, die linke Menge ist in der rechten Menge enthalten und umgekehrt. Dann müssen sie gleich sein.
Nun zu deinen Fragen:
Genau, das Produkt zweier Ideale ist so definiert: $AB = [mm] \{\sum a_i b_i | a_i \in A, b_i \in B \}$ [/mm] (die Summe da drin ist ausserdem nur eine endliche Summe).
Ich gehe zuerst auf deine Frage 2 ein, von der du schon einen Lösungsversuch abgegeben hast. Du hast auch Recht mit deiner Intuition, dass man "so einfach nicht durch I teilen kann". ;)
Nach Voraussetzung hat I eine ganz spezielle Gestalt, weil es ein Hauptideal ist (sagen wir, es wird von c erzeugt): I = [mm] \{rc | r \in R\}.
[/mm]
1. Fall: c=0:
Hier ist I = 0 und die Folgerung "A = B oder I=0" ist erfüllt. Hier ist es gar nicht mehr nötig, die vorausgesetzte Gleichung AI = BI zu vereinfachen.
2. Fall: $c [mm] \neq [/mm] 0$:
Nimm dir ein Element a aus A. Dann liegt ac in AI (als Summe aus einem Produkt). Nach Voraussetzung ist AI = BI, also kann man ac darstellen als [mm] $\sum b_i c_i$. [/mm] Die [mm] c_i [/mm] lassen sich als [mm] $r_i [/mm] c$ darstellen, weil I das von c erzeugte Hauptideal ist. Die Summe lässt sich jetzt (in mehreren Schritten - du sollst ja auch noch was zu tun haben *g*) umformen zu bc, wobei b aus B ist.
Wir haben jetzt die Gleichung ac = bc. Bringe das bc auf die andere Seite und klammere c aus. Jetzt verwende, dass der Ring nullteilerfrei ist. Und dann steht da: $a [mm] \in [/mm] B$.
Die umgekehrte Richtung läuft analog.
Bei der Aufgabe 1 machst du es nach dem gleichen Prinzip.
Erstmal zeigst du, dass die linke Menge in der rechten enthalten ist:
Jedes Element von $(A [mm] \cap [/mm] B)(A+B)$ lässt sich darstellen als [mm] $\sum c_i(a_i+b_i)$, [/mm] wobei die [mm] a_i [/mm] in A, [mm] b_i [/mm] in B und [mm] c_i [/mm] in $A [mm] \cap [/mm] B$ liegen. Wenn wir nun zeigen, dass jeder einzelne dieser Summanden [mm] c_i(a_i+b_i) [/mm] in der rechten Seite AB liegt, dann liegt auch ihre Summe darin.
Der Summand [mm] c_i(a_i+b_i) [/mm] lässt sich umformen zu [mm] c_i a_i [/mm] + [mm] c_i b_i [/mm] = [mm] a_i c_i [/mm] + [mm] c_i b_i [/mm] und das liegt wo drin? *dir auch was lass*
Etwas schwieriger ist die andere Richtung. Auch hier genügt es, statt einer Summe von Produkten nur ein einzelnes Produkt ab zu betrachten. A ist ja eine Teilmenge von A+B und A+B war nach Voraussetzung ein von einem Element c erzeugtes Hauptideal. Damit ist a = a'c. Ebenso b = b'c. Versuchst du den Rest mal selbst mit einem Zusatztip?
Tip: ab = (ab')c = (ba')c. Die Nullteilerfreiheit ist hier nicht vorausgesetzt! Du kannst aber anders zeigen, dass ab' = ba' ist.
Lieben Gruss,
Irrlicht
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