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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Definition des Integrals
[mm] \integral_{[-L,L]}{gd\nu(f,.)}=\alpha(g*f), [/mm] wobei [mm] (g*f)(x,y)=g(x)*f(y) [/mm] ist..
Hinweis: [mm] \nu [/mm] ist definiert
a) [mm] \Sigma^{\*}=[/mm] [mm] \{M\subset [-L,L] | M [/mm] x [mm] [-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\} [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
b) [mm] \nu(f,A)=\integral{f(y)\mathcal{X}_A(x)d\mu_{\alpha}} [/mm] ist eine Abbildung
1) [mm] \nu(.,A) [/mm] ist linear und positiv [mm] \forall A\in\Sigma^{\*}.
[/mm]
2) [mm] \nu(f,.) [/mm] ist ein Maß auf [mm] \Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0. [/mm] |
Hallo,
also in der Aufgabe davor war noch definiert das:
Sei [mm] \alpha:C^0([-L,L]^2)\mapsto\IR [/mm] linear und positiv, d.h.
[mm] f(x,y)>0 \forall|x|\le L, |y|\le L \Rightarrow \alpha(f)\ge 0 [/mm].
Sei [mm] \mu_{\alpha} [/mm] das von [mm] \alpha [/mm] erzeugte äußere Radonmaß und [mm] \Sigma_{\alpha} [/mm] die [mm] \sigma-Algebra [/mm] der [mm] \mu_{\alpha} [/mm] messbaren Mengen.
Ich denke das brauch man, um zu wissen was [mm] \alpha [/mm] ist. Aber leider kann ich damit nicht viel anfangen. Was ist gemeint mit "Definition des Integrals"? Wäre dankbar über jegliche Hilfe!
Viele Grüße
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:15 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Zeigen Sie mit Hilfe der Definition des Integrals
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> [mm]\integral_{-L,L}{gd\nu(f,.)}=\alpha(g*f),[/mm] wobei
> [mm](g*f)(x,y)=g(x)*f(y) ist.[/mm]
Was sind $f$ und $g$? Raumschiffe? Und soll $-L,L$ gleich $[-L,L]$ sein?
> Hinweis: [mm]\nu[/mm] ist definiert
> 1) [mm]\nu(.,A)[/mm] ist linear und positiv [mm]\forall A\in\Sigma^{\*}.[/mm]
>
> 2) [mm]\nu(f,.)[/mm] ist ein Maß auf [mm]\Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0.[/mm]
>
> Hallo,
>
> also in der Aufgabe davor war noch definiert das:
>
> Sei [mm]\alpha:C^0([-L,L]^2)\mapsto\IR[/mm] linear und positiv,
> d.h.
> [mm]f(x,y)>0 \forall|x|\le L, |y|\le L \Rightarrow \alpha(f)\ge 0 [/mm].
Ist hier $f [mm] \in C^0([-L,L]^2)$? [/mm] Und [mm] $C^0(M)$ [/mm] sind die stetigen Funktionen $M [mm] \to \IR$?
[/mm]
> Sei [mm]\mu_{\alpha}[/mm] das von [mm]\alpha[/mm] erzeugte äußere Radonmaß
> und [mm]\Sigma_{\alpha}[/mm] die [mm]\sigma-Algebra[/mm] der [mm]\mu_{\alpha}[/mm]
> messbaren Mengen.
Was hat [mm] $\mu_\alpha$ [/mm] mit der Aufgabe zu tun? Das taucht doch nirgendwo auf!
Und was ist [mm] $\nu$ [/mm] eigentlich? Das muss doch irgendwie mit [mm] $\alpha$ [/mm] zusammenhaengen.
> Ich denke das brauch man, um zu wissen was [mm]\alpha[/mm] ist. Aber
> leider kann ich damit nicht viel anfangen.
Ich auch nicht. U.a. weil da noch zu viel fehlt.
> Was ist gemeint
> mit "Definition des Integrals"? Wäre dankbar über
> jegliche Hilfe!
Nun, die Definition des Integrals halt. Wie ![[]](/images/popup.gif) hier, nur mit einem beliebigen Mass anstelle dem Lebesgue-Mass.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 So 12.12.2010 | | Autor: | Kayle |
> Moin.
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> > Zeigen Sie mit Hilfe der Definition des Integrals
> >
> > [mm]\integral_{-L,L}{gd\nu(f,.)}=\alpha(g*f),[/mm] wobei
> > [mm](g*f)(x,y)=g(x)*f(y) ist.[/mm]
>
> Was sind [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm]? Raumschiffe? Und soll [mm]-L,L[/mm] gleich [mm][-L,L][/mm]
> sein?
Raumschiffe? Wäre mal was Neues! Also ja, es soll [-L,L] heißen. Ist geändert. Und in der Aufgabe davor war [mm] \nu [/mm] definiert als
1) [mm]\nu(.,A)[/mm] ist linear und positiv [mm]\forall A\in\Sigma^{\*}.[/mm].
2 ) [mm]\nu(f,.)[/mm] ist ein Maß auf [mm]\Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0.[/mm]. Woraus hier ja folgt, dass [mm] f\in C^0([-L,L]), f\ge0. [/mm] Wahrscheinlich gilt das dann auch für g! Ich kanns leider nicht sagen, es steht nirgends, aber ich nehme es an.
> > Hinweis: [mm]\nu[/mm] ist definiert
> > 1) [mm]\nu(.,A)[/mm] ist linear und positiv [mm]\forall A\in\Sigma^{\*}.[/mm]
>
> >
> > 2) [mm]\nu(f,.)[/mm] ist ein Maß auf [mm]\Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0.[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > also in der Aufgabe davor war noch definiert das:
> >
> > Sei [mm]\alpha:C^0([-L,L]^2)\mapsto\IR[/mm] linear und positiv,
> > d.h.
> > [mm]f(x,y)>0 \forall|x|\le L, |y|\le L \Rightarrow \alpha(f)\ge 0 [/mm].
>
> Ist hier [mm]f \in C^0([-L,L]^2)[/mm]? Und [mm]C^0(M)[/mm] sind die stetigen
> Funktionen [mm]M \to \IR[/mm]?
S.o.
> > Sei [mm]\mu_{\alpha}[/mm] das von [mm]\alpha[/mm] erzeugte äußere Radonmaß
> > und [mm]\Sigma_{\alpha}[/mm] die [mm]\sigma-Algebra[/mm] der [mm]\mu_{\alpha}[/mm]
> > messbaren Mengen.
>
> Was hat [mm]\mu_\alpha[/mm] mit der Aufgabe zu tun? Das taucht doch
> nirgendwo auf!
Ja ich dachte man brauch es, weil in der Aufgabe nichts gegegeben ist. Aber ich hab gesehen wie [mm] \nu [/mm] definiert ist und da brauch man wohl noch die Definition von [mm] \Sigma^{\*} [/mm] und die lautet:
[mm] \Sigma^{\*}=[/mm] [mm] \{M\subset [-L,L] | M [/mm] x [mm] [-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\} [/mm]
> Und was ist [mm]\nu[/mm] eigentlich? Das muss doch irgendwie mit
> [mm]\alpha[/mm] zusammenhaengen.
Alles was irgendwie gegeben war steht jetzt hier.
> > Ich denke das brauch man, um zu wissen was [mm]\alpha[/mm] ist. Aber
> > leider kann ich damit nicht viel anfangen.
>
> Ich auch nicht. U.a. weil da noch zu viel fehlt.
>
> > Was ist gemeint
> > mit "Definition des Integrals"? Wäre dankbar über
> > jegliche Hilfe!
>
> Nun, die Definition des Integrals halt. Wie
> hier,
> nur mit einem beliebigen Mass anstelle dem Lebesgue-Mass.
>
> LG Felix
>
Okay. Leider blick ich bei der Aufgabe genauso wenig durch... Was bei mir denn was?
Viele Grüße
Kayle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Nun, die Definition des Integrals halt. Wie
> >
> hier,
> > nur mit einem beliebigen Mass anstelle dem Lebesgue-Mass.
> >
> > LG Felix
> >
>
> Okay. Leider blick ich bei der Aufgabe genauso wenig
> durch... Was bei mir denn was?
Zeige die Behauptung erst fuer Treppenfunktionen, dann fuer beliebige Funktionen, indem du diese durch Treppenfunktionen approximierst.
LG Felix
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