www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMengenlehreBeweis Kardinalität
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Mengenlehre" - Beweis Kardinalität
Beweis Kardinalität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis Kardinalität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Fr 21.10.2011
Autor: erha06

Aufgabe
A und B seien endliche Mengen.

Zu beweisen:
Wenn [mm] $|A\cup [/mm] B| = |A| + |B|$, so folgt [mm] $A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm]

Hallo zusammen,

nachdem ihr mich das letzte Mal so toll zur richtigen Lösung geführt habt, versuche ich es noch einmal!

Mein Problem bei dieser Aufgabe ist die "Übersetzung" in einen Beweis.

Mir ist klar, dass diese Aussage richtig ist. Wenn x ein Element beider Mengen A und B wäre (und somit ja in der Schnittmenge enthalten), wäre [mm] $|A\cup [/mm] B| < |A| + |B|$ weil x für die Kardinalität bei [mm] $|A\cup [/mm] B|$ nur einmal "gewertet" wird, wohingegen es sowohl bei $|A|$ als auch bei $|B|$ "gewertet" wird. Deswegen darf x nur Element einer der beiden Mengen sein also muss die Schnittmenge eine leere Menge sein.

Der mathematische Ansatz für diesen Beweis fehlt mir nun leider...

Vielen Dank im Voraus für eure Unterstützung
erha06


        
Bezug
Beweis Kardinalität: Zerlegen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Fr 21.10.2011
Autor: Epsylon

Hallo! Du kannst das beweisen indem du die einzelnen Mengen die du in der Angabe hast in einzelne Teilmengen zerlegst. Also A [mm] \cap [/mm] B , A ohne B und B ohne A. Dann stellst du die linke und rechte Seite der Angabe einander gegenüber.

Bezug
                
Bezug
Beweis Kardinalität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:13 Sa 22.10.2011
Autor: erha06

Hallo,

danke für deine Antwort.

Meinst du mit Zerlegung

[mm] $|A\cup [/mm] B| = |A| + |B| = [mm] |A\setminus [/mm] B| + [mm] |B\setminus [/mm] A|$?

Dann könnte ich ja sagen,

Sei [mm] $x\in A\cup [/mm] B$ so gibt es zwei Fälle.
1) [mm] $x\in [/mm] A [mm] \quad und\quad x\not\in [/mm] B$
2) [mm] $x\in [/mm] B [mm] \quad und\quad x\not\in [/mm] A$

Somit ist [mm] $A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm]

----------------------------------------------------

Was mir noch eingefallen ist, ist, dass ich die Implikation ja verneinen könnte und somit zeigen

Wenn [mm] $A\cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset$ [/mm] dann ist [mm] $|A\cup [/mm] B| [mm] \not= [/mm] |A| + |B| $

Das wäre aus meiner Sicht mein Eingangspost mathematisch formuliert.

Dann könnte ich sagen:

Sei [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ dann ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \quad und\quad x\in [/mm] B$

Sei m die Mächtigkeit von A und n die Mächtigkeit von B so ist
[mm] $|A\cup [/mm] B| = m+n-1$, da [mm] $x\in [/mm] A [mm] \quad und\quad x\in [/mm] B$. $|A| + |B|$ ist jedoch $m+n$.

Somit $m+n-1 [mm] \not=m+n$. [/mm]

----------------------------------------------------

Wäre letzteres ein gültiger Beweis?

Viele Grüße
erha06




Bezug
                        
Bezug
Beweis Kardinalität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Sa 22.10.2011
Autor: reverend

Hallo erha,

> Meinst du mit Zerlegung
>  
> [mm]|A\cup B| = |A| + |B| = |A\setminus B| + |B\setminus A|[/mm]?
>  
> Dann könnte ich ja sagen,
>  
> Sei [mm]x\in A\cup B[/mm] so gibt es zwei Fälle.

Das Problem ist doch, dass es erst einmal drei Fälle gibt.

>  1) [mm]x\in A \quad und\quad x\not\in B[/mm]
>  2) [mm]x\in B \quad und\quad x\not\in A[/mm]

Hier fehlt 3) [mm] x\in A\wedge x\in{B} [/mm]

> Somit ist [mm]A\cap B = \emptyset[/mm]

Das folgt hier nicht.

> ----------------------------------------------------
>  
> Was mir noch eingefallen ist, ist, dass ich die Implikation
> ja verneinen könnte und somit zeigen
>  
> Wenn [mm]A\cap B \not= \emptyset[/mm] dann ist [mm]|A\cup B| \not= |A| + |B|[/mm]
>  
> Das wäre aus meiner Sicht mein Eingangspost mathematisch
> formuliert.

Gute Idee.

> Dann könnte ich sagen:
>  
> Sei [mm]x\in A\cap B[/mm] dann ist [mm]x\in A \quad und\quad x\in B[/mm]
>  
> Sei m die Mächtigkeit von A und n die Mächtigkeit von B
> so ist
>  [mm]|A\cup B| = m+n-1[/mm], da [mm]x\in A \quad und\quad x\in B[/mm]. [mm]|A| + |B|[/mm]
> ist jedoch [mm]m+n[/mm].
>  
> Somit [mm]m+n-1 \not=m+n[/mm].
>  
> ----------------------------------------------------
>  
> Wäre letzteres ein gültiger Beweis?

Hm. Mir gefällt er nicht so recht. Wenn Du über die Mächtigkeit gehen willst, dann setze [mm]|A\cap B|=s[/mm].

Dann ist [mm]|A\cup B|=m+n-s[/mm], und gegeben war [mm]|A\cup B|=m+n[/mm], woraus sofort s=0 und mithin [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] folgt.

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Beweis Kardinalität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:10 Sa 22.10.2011
Autor: erha06

Hallo reverend,

> Wenn Du über die Mächtigkeit gehen willst, dann setze [mm]|A\cap B|=s[/mm].
>
> Dann ist [mm]|A\cup B|=m+n-s[/mm], und gegeben war [mm]|A\cup B|=m+n[/mm],
> woraus sofort s=0 und mithin [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] folgt.

Danke - das leuchtet sofort beim ersten lesen ein. Jetzt kann ich zwar meinen tollen Ansatz von oben nicht verwenden ;-), aber dieser Weg ist sicherlich der eleganteste.

Vielen Dank!
erha06


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]