Beweis Kardinalität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Fr 21.10.2011 | | Autor: | erha06 |
| Aufgabe | A und B seien endliche Mengen.
Zu beweisen:
Wenn [mm] $|A\cup [/mm] B| = |A| + |B|$, so folgt [mm] $A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] |
Hallo zusammen,
nachdem ihr mich das letzte Mal so toll zur richtigen Lösung geführt habt, versuche ich es noch einmal!
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist die "Übersetzung" in einen Beweis.
Mir ist klar, dass diese Aussage richtig ist. Wenn x ein Element beider Mengen A und B wäre (und somit ja in der Schnittmenge enthalten), wäre [mm] $|A\cup [/mm] B| < |A| + |B|$ weil x für die Kardinalität bei [mm] $|A\cup [/mm] B|$ nur einmal "gewertet" wird, wohingegen es sowohl bei $|A|$ als auch bei $|B|$ "gewertet" wird. Deswegen darf x nur Element einer der beiden Mengen sein also muss die Schnittmenge eine leere Menge sein.
Der mathematische Ansatz für diesen Beweis fehlt mir nun leider...
Vielen Dank im Voraus für eure Unterstützung
erha06
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Fr 21.10.2011 | | Autor: | Epsylon |
Hallo! Du kannst das beweisen indem du die einzelnen Mengen die du in der Angabe hast in einzelne Teilmengen zerlegst. Also A [mm] \cap [/mm] B , A ohne B und B ohne A. Dann stellst du die linke und rechte Seite der Angabe einander gegenüber.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Sa 22.10.2011 | | Autor: | erha06 |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Meinst du mit Zerlegung
[mm] $|A\cup [/mm] B| = |A| + |B| = [mm] |A\setminus [/mm] B| + [mm] |B\setminus [/mm] A|$?
Dann könnte ich ja sagen,
Sei [mm] $x\in A\cup [/mm] B$ so gibt es zwei Fälle.
1) [mm] $x\in [/mm] A [mm] \quad und\quad x\not\in [/mm] B$
2) [mm] $x\in [/mm] B [mm] \quad und\quad x\not\in [/mm] A$
Somit ist [mm] $A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset$
[/mm]
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Was mir noch eingefallen ist, ist, dass ich die Implikation ja verneinen könnte und somit zeigen
Wenn [mm] $A\cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset$ [/mm] dann ist [mm] $|A\cup [/mm] B| [mm] \not= [/mm] |A| + |B| $
Das wäre aus meiner Sicht mein Eingangspost mathematisch formuliert.
Dann könnte ich sagen:
Sei [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ dann ist [mm] $x\in [/mm] A [mm] \quad und\quad x\in [/mm] B$
Sei m die Mächtigkeit von A und n die Mächtigkeit von B so ist
[mm] $|A\cup [/mm] B| = m+n-1$, da [mm] $x\in [/mm] A [mm] \quad und\quad x\in [/mm] B$. $|A| + |B|$ ist jedoch $m+n$.
Somit $m+n-1 [mm] \not=m+n$.
[/mm]
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Wäre letzteres ein gültiger Beweis?
Viele Grüße
erha06
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Hallo erha,
> Meinst du mit Zerlegung
>
> [mm]|A\cup B| = |A| + |B| = |A\setminus B| + |B\setminus A|[/mm]?
>
> Dann könnte ich ja sagen,
>
> Sei [mm]x\in A\cup B[/mm] so gibt es zwei Fälle.
Das Problem ist doch, dass es erst einmal drei Fälle gibt.
> 1) [mm]x\in A \quad und\quad x\not\in B[/mm]
> 2) [mm]x\in B \quad und\quad x\not\in A[/mm]
Hier fehlt 3) [mm] x\in A\wedge x\in{B}
[/mm]
> Somit ist [mm]A\cap B = \emptyset[/mm]
Das folgt hier nicht.
> ----------------------------------------------------
>
> Was mir noch eingefallen ist, ist, dass ich die Implikation
> ja verneinen könnte und somit zeigen
>
> Wenn [mm]A\cap B \not= \emptyset[/mm] dann ist [mm]|A\cup B| \not= |A| + |B|[/mm]
>
> Das wäre aus meiner Sicht mein Eingangspost mathematisch
> formuliert.
Gute Idee.
> Dann könnte ich sagen:
>
> Sei [mm]x\in A\cap B[/mm] dann ist [mm]x\in A \quad und\quad x\in B[/mm]
>
> Sei m die Mächtigkeit von A und n die Mächtigkeit von B
> so ist
> [mm]|A\cup B| = m+n-1[/mm], da [mm]x\in A \quad und\quad x\in B[/mm]. [mm]|A| + |B|[/mm]
> ist jedoch [mm]m+n[/mm].
>
> Somit [mm]m+n-1 \not=m+n[/mm].
>
> ----------------------------------------------------
>
> Wäre letzteres ein gültiger Beweis?
Hm. Mir gefällt er nicht so recht. Wenn Du über die Mächtigkeit gehen willst, dann setze [mm]|A\cap B|=s[/mm].
Dann ist [mm]|A\cup B|=m+n-s[/mm], und gegeben war [mm]|A\cup B|=m+n[/mm], woraus sofort s=0 und mithin [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] folgt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Sa 22.10.2011 | | Autor: | erha06 |
Hallo reverend,
> Wenn Du über die Mächtigkeit gehen willst, dann setze [mm]|A\cap B|=s[/mm].
>
> Dann ist [mm]|A\cup B|=m+n-s[/mm], und gegeben war [mm]|A\cup B|=m+n[/mm],
> woraus sofort s=0 und mithin [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] folgt.
Danke - das leuchtet sofort beim ersten lesen ein. Jetzt kann ich zwar meinen tollen Ansatz von oben nicht verwenden  , aber dieser Weg ist sicherlich der eleganteste.
Vielen Dank!
erha06
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