Beweis Kommutativität < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Gilt (ab)² = a²b² fur alle Elemente a, b einer Gruppe G, dann ist G abelsch.
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Hallo zusammen,
ich habe eine prinzipielle Frage zu der Aufgabe.
Wir hatten nie wie man Kommutativität beweisen kann.
Ich weiß von der Definition:
Eine Gruppe ist genau dann abelsch (ist doch das gleiche wie kommutativ?) wenn gilt a [mm] \circ [/mm] b = b [mm] \circ [/mm] a.
a) hätte ich dann so gezeigt, dann a²b² = a*a*b*b
da für die Multiklipation Kommutativität gilt kann ich ja auch schreiben: a*a*b*b = a*b*b*a = a*b*a*b (wegen Assoziativität der Multiplikation) = (ab)²
Damit habe ich ja gezeigt, dass ich a und b vertauschen kann, und trotzdem (ab)² rauskommt.
Meine Frage: Reicht das?
Danke im voraus
lg kuemmelsche
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Hallo Kai,
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
> (a) Gilt (ab)² = a²b² fur alle Elemente a, b einer Gruppe
> G, dann ist G abelsch.
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> Hallo zusammen,
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> ich habe eine prinzipielle Frage zu der Aufgabe.
>
> Wir hatten nie wie man Kommutativität beweisen kann.
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> Ich weiß von der Definition:
> Eine Gruppe ist genau dann abelsch (ist doch das gleiche
> wie kommutativ?) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wenn gilt a [mm]\circ[/mm] b = b [mm]\circ[/mm] a.
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> a) hätte ich dann so gezeigt, dann a²b² = a*a*b*b
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> da für die Multiklipation Kommutativität gilt ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
die sollst du hier ja genau zeigen? wieso sollte die Multiplikation (=Verknüpfung dieser Gruppe) denn kommutativ sein?
> kann ich ja auch schreiben: a*a*b*b = a*b*b*a = a*b*a*b (wegen
> Assoziativität der Multiplikation) = (ab)²
Die Multiplikation ist nur eine Schreibweise für die Verknüpfung in einer Gruppe, die hat i.A nix mit der (kommutativen) Multiplikation wie etwa in [mm] $\IR$ [/mm] zu tun
Du musst dich hier nur an die gegebene Verknüpfung von G halten, von der nichts vorausgesetzt ist, schon gar nicht, dass sie kommutativ ist
Die Verknüpfung ist hier multiplikativ geschrieben (ohne Malpunkt), nochmal: das ist nicht die Multiplikation wie in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IQ$
[/mm]
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> Damit habe ich ja gezeigt, dass ich a und b vertauschen
> kann, und trotzdem (ab)² rauskommt.
>
> Meine Frage: Reicht das?
Nein, du hast doch selber in der Definition oben geschrieben, was du zeigen musst, nämlich dass für alle [mm] $a,b\in [/mm] G$ gilt: $ab=ba$
Nimm dir also beliegige [mm] $a,b\in [/mm] G$ her, dann sind wegen der Abgeschlossenheit von $G$ auch [mm] $ab\in [/mm] G$ und [mm] $ba\in [/mm] G$
Dann ist aber nach Vor. [mm] $(ab)^2=a^2b^2$
[/mm]
Das schreibe aus: [mm] $\gdw [/mm] abab=aabb \ \ \ [mm] (\star)$
[/mm]
Nun musst du diese Gleichung ein wenig umformen, da [mm] $a,b\in [/mm] G$, existieren auch ihre Inversen [mm] $a^{-1},b^{-1}\in [/mm] G$
Beginne mal damit, [mm] $a^{-1}$ [/mm] von links an die Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] (also an beide Seiten) zu multiplizieren (oder genauer gesagt zu verknüpfen  - damit das nicht zu Missverständnissen führt ...
> Danke im voraus
>
> lg kuemmelsche
Gruß
schachuzipus
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