Beweis: Kreis in Kompl. Ebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] \underline{r} [/mm] = x + jy und [mm] \underline{M} [/mm] = 3 + j. Zeigen Sie, dass der Ausdruck [mm] |\underline{r} [/mm] - [mm] \underline{M}| [/mm] = 2 einen Kreis in der komplexen Ebene beschreibt. |
Hallo zusammen.
Mir fehlt gerade jegliche Idee.
Kreisgleichung wäre:
(X - M)² = r² oder (x - xm)² + (y - ym)² = r²
leider verstehe ich die aber auch noch nicht wirklich.
1. Wie Zeige ich, dass der Ausdruck einen Kreis in der komplexen Ebene beschreibt?
2. Wie kann ich seinen Mittelpunk bestimmen. (Bräuchte ich für eine andere Aufgabe)
danke schon im Voraus
lg Tobi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mi 20.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Es sei [mm]\underline{r}[/mm] = x + jy und [mm]\underline{M}[/mm] = 3 + j.
> Zeigen Sie, dass der Ausdruck [mm]|\underline{r}[/mm] -
> [mm]\underline{M}|[/mm] = 2 einen Kreis in der komplexen Ebene
> beschreibt.
> Hallo zusammen.
>
> Mir fehlt gerade jegliche Idee.
>
> Kreisgleichung wäre:
> (X - M)² = r² oder (x - xm)² + (y - ym)² = r²
>
> leider verstehe ich die aber auch noch nicht wirklich.
>
> 1. Wie Zeige ich, dass der Ausdruck einen Kreis in der
> komplexen Ebene beschreibt?
>
> 2. Wie kann ich seinen Mittelpunk bestimmen. (Bräuchte ich
> für eine andere Aufgabe)
>
> danke schon im Voraus
>
> lg Tobi
Hallo Tobi,
wenn schon eine Aussage über den Term [mm]|\underline{r}[/mm] - [mm]\underline{M}|[/mm] vorliegt, sollten wir diesen Term auch mal bilden.
Es ist [mm] \underline{r}-\underline{M} [/mm] als Differenz zweier komplexer Ausdrücke wieder ein komplexer Ausdruck mit Real- und Imaginärteil:
[mm] $\underline{r}-\underline{M}= [/mm] (x + jy)-(3 + j ) = (x-3) +(y-1)j $.
Dieser komplexe Ausdruck besitzt einen Betrag (hier soll er 2 sein). Es gilt $|(x-3) [mm] +(y-1)j|=\wurzel{(x-3)^2+(y-1)^2}=2$
[/mm]
Quadrieren liefert [mm] (x-3)^2+(y-1)^2=4 [/mm] , und das ist die Gleichung eines Kreises (Radius 2) um den Punkt mit dem Realteil 3 und dem Imaginärteil 1.
lg Abakus
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> Dieser komplexe Ausdruck besitzt einen Betrag (hier soll er
> 2 sein). Es gilt [mm]|(x-3) +(y-1)j|=\wurzel{(x-3)^2+(y-1)^2}=2[/mm]
>
Hallo. Nochmals ein nachhacken meinerseits.
|(x-3) [mm] +(y-1)j|=\wurzel{(x-3)^2+(y-1)^2}=2
[/mm]
Wo gehts du mit dem j hin.
Ich hätte j jetzt mit quadriert
|(x-3) [mm] +(y-1)j|=\wurzel{(x-3)^2+j^2*(y-1)^2}=2
[/mm]
was ja dann gleichbedeuten wäre wie
|(x-3) [mm] +(y-1)j|=\wurzel{(x-3)^2+ -1*(y-1)^2}=2
[/mm]
so bekomme ich aber nicht mehr
[mm] \wurzel{(x-3)^2+(y-1)^2}=2
[/mm]
heraus.
Woch mache ich den Denkfehler?
lg Tobi
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Hallo, schaue dir noch einmal die Definition des Betrages einer komplexen Zahl an
z=x+yj
x Realteil
y Imaginärteil
[mm] |z|=\wurzel{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:24 Di 01.07.2008 | | Autor: | tomtomgo |
| Aufgabe | | Welchen Kreis bildet die Menge aller komplexen Zahlen z mit |2z+3|=[mm] \wurzel{5}[/mm]|z+1| |
Hallo zusammen. Sitze gerade bei meiner Prüfungsvorbereitung und hab das wohl mit den komplexen Zahlen noch nicht ganz verstanden. Wäre über Hilfe sehr dankbar.
Folgendes hab ich schon gemacht:
|2z+3|=[mm] \wurzel{5}[/mm]|z+1|
4z²+9=5z²+1
z²+8=0
So jetzt hab ich ja noch keinen Kreis gegeben. Meiner Meinung nach müsste ich jetzt für z=a+jb einsetzen und dann das ganze invertieren. Aber wie? oder liege ich komplett falsch.
Danke schon mal für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Di 01.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Rechnung
|2z+3|=$ [mm] \wurzel{5} [/mm] $|z+1|
4z²+9=5z²+1
z²+8=0
ist abenteuerlich !
Aus |2z+3|=$ [mm] \wurzel{5} [/mm] $|z+1| folgt
|2z+3|² = 5|z+1|²
Rechne jetzt mal weiter
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Di 01.07.2008 | | Autor: | tomtomgo |
Vielen Dank. Aber irgendwie bin ich da völlig falsch gelegen.
Also es folgt
|2z+3|²=5|z+1|²
4z²+12z+9=5z²+10z+5
-z²+2z+4=0
Jetzt in die Mitternachtsformel einsetzen woraus zwei komplexe Nullstellen folgen.
z1= 1-j5 & z2=1+j5
Weiter weiß ich nun nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Di 01.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Das
Also es folgt
|2z+3|²=5|z+1|²
4z²+12z+9=5z²+10z+5
-z²+2z+4=0
ist schon wieder Unfug. Oben hast Du beträge !!!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 01.07.2008 | | Autor: | tomtomgo |
Ok. Könnte ich noch mal nen Tipp haben wie ich weiterverfahre. Ich dachte wenn ich die Gleichung Quaddriere, kann ich die Betragsstriche weglassen, da es ja dann nur noch positiv werden kann oder? Betragsstriche sagen ja nur aus, dass die Gleichung oder Funktion sowohl negativ als auch positiv werden kann.
Ich weiß auf jeden Fall nicht wie ich weiterrechnen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok. Könnte ich noch mal nen Tipp haben wie ich
> weiterverfahre. Ich dachte wenn ich die Gleichung
> Quaddriere, kann ich die Betragsstriche weglassen, da es ja
> dann nur noch positiv werden kann oder? Betragsstriche
> sagen ja nur aus, dass die Gleichung oder Funktion sowohl
> negativ als auch positiv werden kann.
nein, das einfachste Gegenbeispiel ist [mm] $|j|^2=1^2=1$ [/mm] (da Re(j)=0 und Im(j)=1), aber wenn Du die Betragsstriche wegläßt, dann stünde dort [mm] $j^2=1$, [/mm] aber es ist [mm] $j^2=-1$.
[/mm]
Dass Betragsstriche beim Quadrieren weggelassen werden können gilt im Reellen, im Komplexen wird das falsch.
Schau' Dir mal z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier an, wie man komplexe Zahlen darstellen kann und welche elementargeometrische Bedeutung der Betrag einer komplexen Zahl hat, wenn man [mm] $\IC$ [/mm] mit dem euklidischen [mm] $\IR^2$ [/mm] identifiziert.
Für $z=x+j*y [mm] \in \IC$ [/mm] (mit [mm] $x=\mbox{Re}(z), y=\mbox{Im}(z) \in \IR$) [/mm] gilt:
[mm] $$(\star)\;\;\;|z|=\sqrt{x^2+y^2} \ge [/mm] 0.$$
Wenn man mit [mm] $\overline{z}$ [/mm] die zu [mm] $\black{z}$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl [mm] $\overline{z}=x-j*y$ [/mm] bezeichnet, so gilt
[mm] $$|z|=\sqrt{z*\overline{z}}.$$
[/mm]
(Es gilt nämlich [mm] $z*\overline{z}=(x+j*y)*(x-j*y)=x^2-(j*y)^2=x^2-j^2*y^2=x^2-(-y^2)=x^2+y^2$.)
[/mm]
Wenn Du nun zwei komplexe Zahlen der Darstellung [mm] $z_1=x_1+j*y_1$ [/mm] und [mm] $z_2=x_2+j*y_2$ [/mm] hast, so gilt:
[mm] $z_1+z_2=(x_1+x_2)+j*(y_1+y_2)$
[/mm]
Also ist
[mm] $$|z_1+z_2|=\sqrt{(\mbox{Re}(z_1+z_2))^2+(\mbox{Im}(z_1+z_2))^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}$$
[/mm]
Analog solltest Du Dir mal überlegen, wie [mm] $|z_1*z_2|$ [/mm] aussähe...
Also:
Wenn Du den Betrag einer komplexen Zahl $z$ berechnest, dann berechne zunächst den Realteil von $z$ und danach den Imaginärteil von $z$ (vgl. [mm] $(\star)$).
[/mm]
Beispiele (und da solltest Du ggf. die komplexe Zahl $z$ mal zunächst berechnen und die die pythagoräische Länge im [mm] $\IR^2$ [/mm] mal verdeutlichen):
Für $z=1+j$ gilt [mm] $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. [/mm] Für $z=1-j$ gilt [mm] $|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.
[/mm]
Wenn Du nun [mm] $z_1=1+j*7$ [/mm] und [mm] $z_2=2+j*3$ [/mm] hast, so gilt für [mm] $z=z_1+z_2=3+j*10$:
[/mm]
[mm] $$|z|=\sqrt{3^2+10^2}=\sqrt{109}$$
[/mm]
Für obige [mm] $z_{1,2}$ [/mm] gilt für [mm] $z=z_1*z_2=(2-21)+j*(14+3)=-19+j*17$
[/mm]
[mm] $$|z|=\sqrt{361+289}=\sqrt{650}$$
[/mm]
Interessant wäre es sicher mal, für Dich nun auch [mm] $|z_1|*|z_2|$ [/mm] zu berechnen und mit [mm] $|z_1*z_2|$ [/mm] zu vergleichen. Was fällt Dir auf? Wieso gilt das (allgemein)? (Beweis?)
Edit:
Ich hoffe, alle blöden Verschreiber meinerseits nun ausgemerzt zu haben ^^
Gruß,
Marcel
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> Welchen Kreis bildet die Menge aller komplexen Zahlen z mit
> |2z+3|=[mm] \wurzel{5}[/mm]|z+1|
Geometrisch hat die Aufgabe mit dem "Apolloniuskreis" zu tun:
Die Punkte der Ebene, deren Abstände von zwei fixen Punkten
A und B ein konstantes Verhältnis haben, bilden einen Kreis.
Wenn du die Aufgabe mit rein rechnerischen Mitteln lösen
willst, solltest du zuerst z=x+iy setzen und dann schauen,
auf welche Gleichung für x und y du kommst. Es wird sich
herausstellen, dass dies eine Kreisgleichung ist.
Eine weitere Möglichkeit (recht elegant) wäre, zu verwenden,
dass für alle komplexen Zahlen z gilt: [mm] |z|^2=z*\overline{z}.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 01.07.2008 | | Autor: | tomtomgo |
Ok. Vielen Dank für den Tipp. Ich hab mal in Büchern nachgelesen und die Aufgabe noch einmal versucht.
Also:
|2z+3|²=5|z+1|²
(2z+3)(2z'+3)=5((z+1)(z'+1))
4z'z+6z+6z'+9=5(zz'+z+z'+1))
-zz'+5z+5z'+8=0
Und das schaut meiner Meinung nach ja jetzt schon nach komplexer Kreisgleichung zz`- m`z-mz`+c=0 aus. Boß wie lese ich jetzt da noch den Kreis heraus (also falls meine Rechnung stimmt)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 01.07.2008 | | Autor: | tomtomgo |
Danke,
also
[mm] 4\overline{z}z+6z+6\overline{z}+9=5z\overline{z}+z+\overline{z}+5
[/mm]
[mm] \overline{z}z-5z-5\overline{z}-4=0
[/mm]
x²+y²-5(x+jy)-5(x-jy)-4=0
x²+y²-5x-5jy-5x+5jy-4=0
x²+y²-10x=4
(x-5)²+y²=4
Jetzt kann ich den Kreis ablesen. Stimmt das jetzt so?
Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo tomtomgo,
du bist auf dem richtigen Wege, hast aber die letzte Klammer auf der rechten Seite falsch ausmultipliziert: (ich habe die fehlenden Fünfen in rot eingefügt)
> Danke,
>
> also
>
> [mm]4\overline{z}z+6z+6\overline{z}+9=5z\overline{z}+\red{5\cdot{}}z+\red{5\cdot{}}\overline{z}+5[/mm]
> [mm]\overline{z}z-5z-5\overline{z}-4=0[/mm]
> x²+y²-5(x+jy)-5(x-jy)-4=0
> x²+y²-5x-5jy-5x+5jy-4=0
> x²+y²-10x=4
> (x-5)²+y²=4
>
> Jetzt kann ich den Kreis ablesen. Stimmt das jetzt so?
> Vielen Dank für die Hilfe
Fasse noch kurz richtig zusammen, dann kannst du das analog ablesen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Mi 02.07.2008 | | Autor: | tomtomgo |
Dankeschön für die schnelle Hilfe
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
