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Beweis Lösungen liegen imKreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:15 Mo 09.11.2009
Autor: together

Aufgabe
Seien n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} und [mm] a_{i} \in \IC [/mm] mit [mm] |a_{i}|< [/mm] 1. Sei [mm] P(z)=z^n+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n}. [/mm]
Zeigen Sie, dass alle Lösungen von P(z)=0 innerhalb des Kreises |z|=n liegen.

Hallo zusammen,

wie führe ich solch einen Beweis?
Mit vollständiger Induktion?
Und ich dachte, da [mm] |a_{i}|< [/mm] 1, kann die 1 in P(z) nicht vorkommen....aber das scheint ja falsch zu sein.

Ich bin für Tipps dankbar.

Ich habe die Frage in keinem anderen Forum oder keinen anderen Internetseiten gestellt.

VG
together

        
Bezug
Beweis Lösungen liegen imKreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Mo 09.11.2009
Autor: pelzig

Sei [mm]P(z)=0[/mm]. Wenn [mm]|z|\ge 1[/mm] ist, dann ist [mm] $$|z|^n=|P(z)-z^n|=\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_iz^i\right|\le\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z|^i<\sum_{i=0}^{n-1}|z|^i\le n|z|^{n-1}$$ [/mm] Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Beweis Lösungen liegen imKreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Mo 09.11.2009
Autor: together


> Sei [mm]P(z)=0[/mm]. Wenn [mm]|z|\ge 1[/mm] ist, dann ist
> [mm]|z|^n=|P(z)-z^n|=\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_iz^i\right|\le\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z|^i<\sum_{i=0}^{n-1}|z|^i\le n|z|^{n-1}[/mm]
> Gruß, Robert

Und das reicht als Beweis?

VG
together

Bezug
                        
Bezug
Beweis Lösungen liegen imKreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Mo 09.11.2009
Autor: fred97


> > Sei [mm]P(z)=0[/mm]. Wenn [mm]|z|\ge 1[/mm] ist, dann ist
> >
> [mm]|z|^n=|P(z)-z^n|=\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_iz^i\right|\le\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z|^i<\sum_{i=0}^{n-1}|z|^i\le n|z|^{n-1}[/mm]
> > Gruß, Robert
>
> Und das reicht als Beweis?


Na, klar

Robert hat gezeigt: aus $|z| [mm] \ge [/mm] 1$ folgt $|z| [mm] \le [/mm] n$

Ist $|z| < 1$ , so ist trivialerweise $|z| [mm] \le [/mm] n$

FRED


>  
> VG
>  together


Bezug
                                
Bezug
Beweis Lösungen liegen imKreis: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:28 Mo 09.11.2009
Autor: together

Vielen Dank an euch!

VG
together

Bezug
                                
Bezug
Beweis Lösungen liegen imKreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Di 10.11.2009
Autor: peeetaaa

ach und da muss man jetzt gar nichts mehr auflösen oder so?

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Lösungen liegen imKreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Di 10.11.2009
Autor: fred97

Nein

FRED

Bezug
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