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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 So 24.10.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{M} \subset 2^{M}. [/mm] Zeigen Sie: Aus
(i) [mm] M_1,M_2\in\mathcal{M} \Rightarrow M_1 [/mm] \ [mm] M_2\in \mathcal{M}
[/mm]
(ii) [mm] M_i \subset M_{i+1} \forall i\in\IN \to \cup_{i\in\IN}M_1\in \mathcal{M}
[/mm]
(iii) [mm] M\in \mathcal{M}
[/mm]
folgt auch: Jeder abzählbare Durchschnitt und jede abzählbare Vereinigung von Mengen aus [mm] \mathcal{M} [/mm] ist wieder in [mm] \mathcal{M}. [/mm] |
Hallo,
was bedeutet denn diese [mm] 2^{M}. [/mm] Ich kann damit gerade nicht viel anfangen wie 2 hoch eine Menge aus [mm] \mathcal{M} [/mm] aussehen soll.
(Die Aufgabenstellung stimmt nach mehrfacherer Kontrolle diesmal.)
Gruß Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Kayle
[mm] $2^M$ [/mm] ist eine andere Schreibweise fuer die Teilmengen von M. Denn [mm] $2^M$ [/mm] ist die Menge der Funktionen von [mm] $M\to\{0,1\}$. [/mm] Zu einer solchen "charakteristischen Funktion" kann man eindeutig eine Teilmenge von M zuordnen und zwar [mm] $\{m\in M: f(m)=1\}$ [/mm] und umgekehrt kann mam zu jeder Teilmenge von M die charakteristische Funktion zuordnen.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 24.10.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
[mm] \mathcal{M} [/mm] ist also die Menge von Mengen, richtig? Aber wie würden dann zum Beispiel [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] aussehen?
Ich weiß leider auch nicht, wie ich hier den Beweis anfangen soll.
Gruß Kayle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Die Menge [mm] $\mathcal [/mm] M$ besteht aus Teilmengen von M und zwar so, dass die Menge M selben in [mm] $\mathcal [/mm] M$ liegt (Eigenschaft iii), dass mit zwei Mengen [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] auch die Mengendifferenz [mm] $M_1\setminus M_2$ [/mm] dring liegt (Eigenschaft i) und dass wenn eine abzaehlbar aufsteigende Mengenfolge in [mm] $\mathcal [/mm] M$ liegt, dann auch die Vereinigung diese abzaehlbar aufsteigenden Mengenfolge drinn liegt (Eigenschaft ii).
Zeige zuerst, dass mit zwei Mengen [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] auch der Durchschnitt [mm] $M_1\cap M_2$ [/mm] in [mm] $\mathcal [/mm] M$ liegt. Dazu brauchst du nur Eigenschaft i).
Dann zeige dass auch die Vereinigung [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] in [mm] $\mathcal [/mm] M$ liegen muss. Dazu brauchst du die Eigenschaft iii).
Dann kannst du zeigen dass endliche Durchschnitte und endliche Vereinigungen in [mm] $\mathcal [/mm] M$ liegen muessen.
Schliesslich abzaehlbar Vereinigungen und Durchschnitte. Dazu brauchst du dann ii).
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 24.10.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
deine Erkläung ist super, das machts einfacher zu verstehen wenn man hier so eine Hilfestellung bekommt.
> Die Menge [mm]\mathcal M[/mm] besteht aus Teilmengen von M und zwar
> so, dass die Menge M selben in [mm]\mathcal M[/mm] liegt
> (Eigenschaft iii), dass mit zwei Mengen [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] auch
> die Mengendifferenz [mm]M_1\setminus M_2[/mm] dring liegt
> (Eigenschaft i) und dass wenn eine abzaehlbar aufsteigende
> Mengenfolge in [mm]\mathcal M[/mm] liegt, dann auch die Vereinigung
> diese abzaehlbar aufsteigenden Mengenfolge drinn liegt
> (Eigenschaft ii).
>
> Zeige zuerst, dass mit zwei Mengen [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] auch der
> Durchschnitt [mm]M_1\cap M_2[/mm] in [mm]\mathcal M[/mm] liegt. Dazu brauchst
> du nur Eigenschaft i).
>
Soll ich nun einfach hinschreiben, dass aus (i) folgt, die Vereinigung von [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] liegt wieder in [mm] \mathcal{M}? [/mm] Das ist doch etwas dürftig als "Beweis"?
> Dann zeige dass auch die Vereinigung [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] in
> [mm]\mathcal M[/mm] liegen muss. Dazu brauchst du die Eigenschaft
> iii).
>
Auch das ist in meinen Augen eigentlich sehr klar. Wenn ich ein Element aus M [mm] \subset \mathcal{M} [/mm] nehme, ist es klar das es auch Element von [mm] \mathcal{M} [/mm] ist. Und das die Element einer Vereinigung zweier Teilmengen wieder in [mm] \mathcal{M} [/mm] liegt auch. Ist das wirklich so einfach? Oder muss man das irgendwie durch Beispiele beliebiger Elemente zeigen?
Gruß Kyle
> Dann kannst du zeigen dass endliche Durchschnitte und
> endliche Vereinigungen in [mm]\mathcal M[/mm] liegen muessen.
>
> Schliesslich abzaehlbar Vereinigungen und Durchschnitte.
> Dazu brauchst du dann ii).
>
> mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Natuerlich muss man das noch genauer erlaeutern.
z.B. [mm] $M_1\cap M_2=M_1\smallsetminus(M_1\smallsetminus M_2)$.
[/mm]
Schreibe [mm] $M_1^c=M\smallsetminus M_1$ [/mm] fuer das Komplement der Menge [mm] $M_1$, [/mm] dann gilt [mm] $(M_1^c)^c=M_1$ [/mm] und die de Morganschen Regeln
1) [mm] $(M_1\cup M_2)^c=M_1^c\cap M_2^c$ [/mm] und
2) [mm] $(M_1\cap M_2)^c=M_1^c\cup M_2^c$
[/mm]
Aus 1 folgt also [mm] $M_1\cup M_2=(M_1^c\cap M_2^c)^c$.
[/mm]
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 24.10.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
>
> z.B. [mm]M_1\cap M_2=M_1\smallsetminus(M_1\smallsetminus M_2)[/mm].
>
> Schreibe [mm]M_1^c=M\smallsetminus M_1[/mm] fuer das Komplement der
> Menge [mm]M_1[/mm], dann gilt [mm](M_1^c)^c=M_1[/mm] und die de Morganschen
> Regeln
> 1) [mm](M_1\cup M_2)^c=M_1^c\cap M_2^c[/mm] und
> 2) [mm](M_1\cap M_2)^c=M_1^c\cup M_2^c[/mm]
>
> Aus 1 folgt also [mm]M_1\cup M_2=(M_1^c\cap M_2^c)^c[/mm].
Kann ich jetzt nicht ohne großen Beweis folgern: Der [mm] \cap [/mm] zweier Elemente ergibt wieder ein neues Element, welches in [mm] \mathcal{M} [/mm] liegt und kann ich dann wieder mit einem 3. schneiden. Das könnte ich natürlich beliebig oft forsetzen ==> endlich n [mm] \in \IN [/mm] ==> abzählbar unendlich (gleiches gilt natürlich für [mm] \cup)
[/mm]
Gruß Kayle
>
> mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Ja daraus folgt dann dass der Durchschnitt und die Vereinigung von 3 Mengen, 4 Mengen, 5 Mengen, ... wieder in [mm] $\mathcal [/mm] M$ liegt. Aber damit hat man noch lange nicht den Durchschnitt und die Vereinigung abzaehlbar undendlich vieler Mengen.
Jetzt muss man noch ii) benutzen. Seien also [mm] $M_i, i\in\mathbb [/mm] N$ beliebige Mengen definiere jetzt [mm] $N_1=M_1$, $N_2=M_1\cup M_2$, $N_3=M_1\cup M_2\cup M_3$ [/mm] etc.
Dann gilt [mm] $N_1\subset N_2\subset N_3\subset \dots$ [/mm] und [mm] $\bigcup_{i}N_i=\bigcup_i M_i$ [/mm] und wegen ii) ist [mm] $\bigcup_i N_i$ [/mm] in [mm] $\mathcal [/mm] M$. Den Durchschnitt bildet man wieder mit Komplementen [mm] $\bigcap_i M_i=\left(\bigcup_i M_i^c\right)^c$.
[/mm]
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 So 24.10.2010 | | Autor: | Kayle |
Ich danke dir Moudi, bist der erste der mir alles so einleuchtend hier erklären konnte.
Dankeschön !
Gruß Kayle
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Hallo Kayle,
nur wegen der starken Augenschmerzen, die es verursacht.
Könntest du bitte bitte fortan dein Leben lang "Beweis" und "beweisen" schreiben.
Das "ß" tut echt weh an der Stelle.
Danke und Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 So 24.10.2010 | | Autor: | Kayle |
Auch wenn ich mich ungern als Legastheniker abstempeln lasse, du hast Recht. Keine Ahnung wie das passiert ist - wenn du den Rest meiner Fragen/Antworten verfolgst sollte auffallen, dass ich sehr wohl "beweisen" schreibe. Trotzdem, danke für den Hinweis.
Gruß Kayle
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Hallo nochmal,
ja, Vertipper passieren halt immer schnell mal, kein Problem.
Aber dieses Ungetüm trifft man hier häufig an.
Ebenso "Vorraussetzung" *grrrrrr*
War nicht gegen dich gerichtet!
Gruß
schachuzipus
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