Beweis Monotonieverhalten < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm]f : x \mapsto x^{3}; x \in \IR[/mm] für x < 0 streng monoton steigend ist. |
Hallo,
mein Lehrbuch führt zwar einen Beweis, aber ich finde ihn zu umständlich. Meine Frage: warum ist es nicht möglich, dies auf folgende simple Art zu beweisen?
[mm]x_1 < x_2[/mm] | mit 3 potenzieren
[mm]\Rightarrow x_1^{3} < x_2^{3}[/mm]
Potenziert man eine Zahl mit einem ungeraden Exponenten, so ändert sich ihr Vorzeichen nicht, es spielt also keine Rolle, ob [mm] x_1,x_2 [/mm] < 0 oder [mm] x_1,x_2 [/mm] > 0 oder gar [mm] x_1 [/mm] < 0 und [mm] x_2 [/mm] > 0, damit wäre also gleichzeitig bewiesen, dass f für x > 0 ebenfalls streng monoton steigend ist.
[mm]\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)[/mm]
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Mi 16.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
> [mm]x_1 < x_2[/mm] | mit 3 potenzieren
> [mm]\Rightarrow x_1^{3} < x_2^{3}[/mm]
das ist ja richtig, aber die Umformung" "mit 3 potenzieren" ist keine Standardumformung für Ungleichungen. Letztendlich folgt aus der (übrigens strengen) Monotonie der Funktion [mm] $f(x)=x^3$, [/mm] dass diese Umformung richtig ist.
Oder anders: Hier steckst Du genau das rein, was Du zeigen sollst.
Ein vielleicht akzeptabler Ansatz wäre:
Ist $x < y$, so exisitert ein [mm] $\epsilon [/mm] >0$ mit $x + [mm] \epsilon [/mm] =y$
Es gilt dann
$f(y) = [mm] f(x+\epsilon) [/mm] = [mm] (x+\epsilon)^3 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3x^2\epsilon [/mm] + [mm] 3x\epsilon^2+\epsilon^3 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3\epsilon (x^2+x\epsilon [/mm] + [mm] \bruch{\epsilon^2}{3}) [/mm] > [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3\epsilon (x^2+x\epsilon [/mm] + [mm] \bruch{\epsilon^2}{4}) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3\epsilon (x+\bruch{\epsilon}{2})^2 [/mm] > [mm] x^3 [/mm] = f(x)$
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Hallo MicMuc,
zunächst vielen Dank für Deine Antwort! Allerdings verstehe ich nicht, was Du mit "Standardumformungen für Ungleichungen" meinst. Welche Eigenschaften muss denn eine Rechnenoperation haben, dass man sie ohne Bedenken für Beweise mittels Termumformungen verwenden kann? Mein Idee war: so wie man beweist, dass eine beliebige lineare Gleichung (streng) monoton steigend bzw. fallend ist -- durch einfache Termumformung --, müsste man auch das Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion beweisen können. Ich sehe grundsätzlich keinen Unterschied zwischen einer Addition plus 3 etwa und dem potenzieren mit 3: Beide ordnen einer Zahl eine andere Zahl eindeutig zu, sind also Funktionen. Mit dem Unterschied, dass das Potenzieren nicht umkehrbar ist. Wahrscheinlich liegt hier der Knackpunkt?
Ich habe leider nicht viel Zeit, sonst würde ich hier noch den Beweis aus dem Lehrbuch einfügen. Aber falls das jemanden interessiert, kann ich das gerne später noch tun.
Vielen Dank nochmals!
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mi 16.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Hallo maximinus,
> zunächst vielen Dank für Deine Antwort! Allerdings verstehe
> ich nicht, was Du mit "Standardumformungen für
> Ungleichungen" meinst. Welche Eigenschaften muss denn eine
> Rechnenoperation haben, dass man sie ohne Bedenken für
> Beweise mittels Termumformungen verwenden kann?
Mit einer "Standard-Umformung" meinte ich bspw. die beidseitige Addition mit einer reellen Zahl oder die beidseitige Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl ...
Die "Gültigkeit" einer solchen Umformung lässt sich übrigens direkt aus den Axiomen der "Anordnung der reelen Zahlen" herleiten ...
Wenn Du nun beispielsweise die "Wurzel ziehen" möchtest (angenommen die Werte sind jeweils positiv) oder eben wie hier "mit 3 potenzierst", so mag die "Gülitigkeit" der Umformung bei Kenntnis des entsprechenden Funktionsgraphen zu den zugehörigen Funktionen zwar anschaulich "klar" sein, aber sie lässt sich nicht direkt über die Axiome bzw. über die "Standard-Umformungen" herleiten.
Du veränderst beim "Potenzieren mit 3" bspw. beide Seite ganz verschieden:
Die linke Seite wird mit [mm] x^2 [/mm] multipliziert und die rechte mit [mm] y^2
[/mm]
(x < y .... [mm] $x^3
> Mein Idee war: so wie man beweist, dass eine beliebige lineare
> Gleichung (streng) monoton steigend bzw. fallend ist --
> durch einfache Termumformung --,
Hier reicht aber eine beidseitige Addition mit einer "konstanten" Zahl vollkommen aus!
> müsste man auch das
> Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion
besser: Potenzfunktion
> beweisen können. Ich sehe grundsätzlich keinen Unterschied zwischen
> einer Addition plus 3 etwa und dem potenzieren mit 3
Das sehe ich halt etwas anders.
> Beide ordnen einer Zahl eine andere Zahl eindeutig zu, sind also
> Funktionen. Mit dem Unterschied, dass das Potenzieren nicht
> umkehrbar ist. Wahrscheinlich liegt hier der Knackpunkt?
Naja, für [mm] $f(x)=x^3$ [/mm] ist die Umkehrfunktion schon auf ganz R definiert ...
(Auf ganz R streng monotone Funktionen besitzen stets eine Umkehrfunktion auf ganz R)
> Ich habe leider nicht viel Zeit, sonst würde ich hier noch
> den Beweis aus dem Lehrbuch einfügen. Aber falls das
> jemanden interessiert, kann ich das gerne später noch tun.
Abschliessend:
Was Du über die Umformung "Potenzieren mit 3" sagst ist alles völlig korrekt. Deine Vorstellungen sind richtig und Deine "Argumentation" ist an sich auch richtig.
Die Schlüsselfrage ist nur:
Musst Du nicht "beweisen", dass [mm] $f(x)=x^3$ [/mm] streng monoton wachsend ist?
Wenn Du das benutzen darfst, ist alles in Ordnung und geradezu perfekt!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Fr 18.05.2007 | | Autor: | maximinus |
Hallo MicMuc,
nochmals vielen Dank! Die Sache ist mir jetzt viel klarer.
Gruß
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Hallo maximinus!
Warum zeigst Du das nicht z.B. über die Ableitung? Denn wenn gilt $f'(x) \ > \ 0$ , liegt eine streng monoton wachsende Funktion (in den entsprechenden Intervallen) vor.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mi 16.05.2007 | | Autor: | maximinus |
Hallo Goldener Schnitt und Roadrunner,
vielen Dank an euch beide! Leider bin ich noch nicht in die "Gefilde" der Differential- und Integralrechnung vorgedrungen, aber ich werde das hoffentlich in Kürze tun. Wenn es so weit ist, werde ich nochmals hier reinschauen!
Viele Grüße
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Intervall
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