Beweis Neyman Pearson Lemma < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Mi 24.03.2010 | | Autor: | mocca |
| Aufgabe | Sei Ω abzählbar und seien P und Q zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen
auf Ω mit Zähldichten p(w) und q(w).
L(w) := [mm] \bruch{q(w)}{p(w)} \le\infty [/mm] heißt Likelihood-Quotient von Q bzgl. P. Sei ferner
[mm] \psi [/mm] : Ω → {P,Q}
[mm] \psi= \begin{cases} P, & \mbox{für } L(w)< c \\ Q, & \mbox{für } L(w)\ge c \end{cases}
[/mm]
mit [mm] P(\psi=Q)=P(L(w) [/mm] ≥ c ) = [mm] \alpha. [/mm]
Dann gilt für jede andere Entscheidungsfunktion
[mm] \phi: [/mm] Ω → {P,Q} mit [mm] P(\phi= [/mm] Q) ≤ [mm] \alpha
[/mm]
[mm] Q(\phi= [/mm] P)≥ [mm] Q(\psi= [/mm] P) |
Hallo, ich bin neu hier im Matheraum und habe auch direkt eine Frage zum Beweis des Neyman Pearson Lemmas. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
[mm] A:=[w|\psi(w)=Q] [/mm] und [mm] B:=[w|\phi(w)=Q]
[/mm]
[mm] w\in [/mm] A [mm] \gdw [/mm] q(w)-c [mm] p(w)\ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \summe_{w\in A} [/mm] [q(w)-c [mm] p(w)]\ge \summe_{w\in B} [/mm] [q(w)-c p(w)]
[mm] \Rightarrow Q(\psi [/mm] = Q)-c [mm] P(\psi=Q)\ge Q(\phi [/mm] = Q)-c [mm] P(\phi=Q)
[/mm]
[mm] \Rightarrow Q(\psi=Q)-Q(\phi=Q)\ge cP(\psi=Q)-cP(\phi=Q)\ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow Q(\phi=P) [/mm] = [mm] 1-Q(\phi=Q)\ge 1-Q(\psi=Q)=Q(\psi=P)
[/mm]
Die Mengen A und B sind doch die Bereiche in denen die Hypothese abgelehnt werden.
Und wenn ich jetzt ein Element aus A nehme ist mir klar, dass [mm] L(w)\ge [/mm] 0 ist.
Aber wie komme ich nun auf den nächsten Schritt mit der Summe?
Ich verstehe bei diesem Beweis leider den Großteil nicht, und hoffe ihr könnt mir ein wenig Klarheit verschaffen.
lg mocca
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Sei Ω abzählbar und seien P und Q zwei
> Wahrscheinlichkeitsverteilungen
> auf Ω mit Zähldichten p(w) und q(w).
> L(w) := [mm]\bruch{q(w)}{p(w)} \le\infty[/mm] heißt
> Likelihood-Quotient von Q bzgl. P. Sei ferner
> [mm]\psi[/mm] : Ω → {P,Q}
> [mm]\psi= \begin{cases} P, & \mbox{für } L(w)< c \\ Q, & \mbox{für } L(w)\ge c \end{cases}[/mm]
>
> mit [mm]P(\psi=Q)=P(L(w)[/mm] ≥ c ) = [mm]\alpha.[/mm]
> Dann gilt für jede andere Entscheidungsfunktion
> [mm]\phi:[/mm] Ω → {P,Q} mit [mm]P(\phi=[/mm] Q) ≤ [mm]\alpha[/mm]
> [mm]Q(\phi=[/mm] P)≥ [mm]Q(\psi=[/mm] P)
>
>
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> Hallo, ich bin neu hier im Matheraum und habe auch direkt
> eine Frage zum Beweis des Neyman Pearson Lemmas. Ich hoffe
> ihr könnt mir helfen.
In dem Beweis wird in jedem Schritt eine Voraussetzung benutzt.
Weil nicht klar erkenntlich ist, welche jeweils benutzt wurden, ist der Beweis ohne Text schwer zu verstehen.
> [mm]A:=[w|\psi(w)=Q][/mm] und [mm]B:=[w|\phi(w)=Q][/mm]
>
> [mm]w\in[/mm] A [mm]\gdw[/mm] q(w)-c [mm]p(w)\ge[/mm] 0
Wenn [mm] $w\in [/mm] A$ ist, ist also [mm] $q(w)-c*p(w)\ge [/mm] 0$. (*)
Das bedeutet auch: Wenn [mm] $w\in\Omega \textbackslash [/mm] A$, ist $q(w)-c*p(w)< 0$ (**)
Wir wissen nicht genau, aus welchen [mm] $w\in \Omega$ [/mm] die Menge B besteht. Mit Sicherheit ist es aber eine Mischung aus Elementen von A und [mm] $\Omega \textbackslash [/mm] A$.
Alle Summanden der Summe
[mm] $\summe_{w\in A}[q(w)-c*p(w)]$
[/mm]
sind wegen (*) größer gleich 0.
- Wenn ich die Menge A um irgendein Element von [mm] $\Omega \textbackslash [/mm] A$
erweitern würde, würde die Summe kleiner werden! Warum: Weil wegen (**) für dieses [mm] $w\in\Omega \textbackslash [/mm] A$ gilt: $q(w)-c*p(w)< 0$.
- Wenn ich irgendwelche Elemente aus der Menge A entfernen würde, wird die Summe ebenfalls kleiner, denn: alle Summanden bisher sind ja größer gleich 0!
Das bedeutet nun: [mm] $\summe_{w\in A}[q(w)-c*p(w)]$ [/mm] ist garantiert größer als jede andere Summe [mm] $\summe_{w\in B}[q(w)-c*p(w)]$.
[/mm]
Lass dir das mal durch den Kopf gehen.
> [mm]\Rightarrow \summe_{w\in A}[/mm] [q(w)-c [mm]p(w)]\ge \summe_{w\in B}[/mm]
> [q(w)-c p(w)]
Im nächsten Schritt wird nun einfach benutzt, dass im Grunde
$A = [mm] \{\psi = Q\}$
[/mm]
und
$B = [mm] \{\phi = Q\}$
[/mm]
ist.
> [mm]\Rightarrow Q(\psi[/mm] = Q)-c [mm]P(\psi=Q)\ge Q(\phi[/mm] = Q)-c
> [mm]P(\phi=Q)[/mm]
Im nächsten Schritt ist die hintere Ungleichung interessant:
c ist auf jeden Fall größer gleich 0 (zumindest können wir ohne Einschränkung davon ausgehen). Warum: Oben in der Entscheidungsfunktion [mm] \psi [/mm] steht auf der einen Seite der Likelihood-Quotient, auf der anderen c. Der Likelihood-Quotient kann nicht negativ werden, deswegen macht es auch keinen Sinn, c negativ zu machen.
Warum ist [mm] $P(\psi=Q)-P(\phi=Q)\ge [/mm] 0$ ?
Dies geht direkt aus der Voraussetzung mit den [mm] \alpha [/mm] hervor, schau dir das oben mal an.
> [mm]\Rightarrow Q(\psi=Q)-Q(\phi=Q)\ge cP(\psi=Q)-cP(\phi=Q)\ge[/mm]
> 0
>
> [mm]\Rightarrow Q(\phi=P)[/mm] = [mm]1-Q(\phi=Q)\ge 1-Q(\psi=Q)=Q(\psi=P)[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Sa 03.04.2010 | | Autor: | mocca |
danke für deine Antwort, jetzt ist mir der Beweis klar =)
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