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Hallo ihr Lieben!
Ich habe folgenden Beweis zu führen:
$a [mm] \perp [/mm] (x+y) [mm] \gdw [/mm] a [mm] \perp [/mm] x$ und $a [mm] \perp [/mm] y$
Folgendermaßen bin ich vorgegangen:
Allgemein gilt: $x [mm] \perp [/mm] y$ wenn gilt: s(x,y)=0
Zu zeigen ist bei mir nun erstmal die linke Seite.
s(a,x+y) =0
Das ist das selbe wie: s(x+y,a) und das ist laut der Additivität des Skalarproduktes s(x,a)+s(y,a)
Nun müsste ich irgendwie noch zeigen dass diese beiden faktoren null sind, Wie mache ich das?
Auf der rechten Seite muss ich folgendes zeigen:
$a [mm] \perp [/mm] x$ und $a [mm] \perp [/mm] y$
Es muss also s(a,x) = 0 und s(a,y) = 0 sein. Damit $a [mm] \perp [/mm] x$ bzw $a [mm] \perp [/mm] y$.
Demnach hätte ich insgesamt folgendes dort stehen:
s(x+y,a) = s(a*x)+s(a*y)
Meine Behauptung wäre somit richtig.
Ich weiß eben nur nicht wie ich beweise dass meine einzelnen Faktoren gleich null sind?
Danke :0)
Als nächstes soll ich beweisen dass:
$|x+y| = | x | + | y |$ ist und daraus folgt dass x und y linear abhängig sind.
Hier habe ich wie folgt angesetzt:
Zuerst die linke Seite:
$ | x+y | = [mm] \wurzel{s(x,x)+s(y,y)} [/mm] = [mm] \wurzel{ x^{2}+ y^{2}}$
[/mm]
Weiter kann ich das ganze ja nicht mehr vereinfachen.
Die rechte Seite ergibt jedoch:
$|x| = [mm] \wurzel{s(x,x)} [/mm] = [mm] \wurzel{ x^{2}}$
[/mm]
entsprechend $|y| = [mm] \wurzel{ y^{2}}$
[/mm]
Dann erhalte ich:
[mm] \wurzel{ x^{2}+ y^{2}} \not= \wurzel{ x^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{ y^{2}}
[/mm]
Demnach wäre die Behauptung schon falsch.
Bitte um Korrektur und darum, mich auf die fehler, bzw. das was und wo ich es falsch gemacht habe hinzuweisen.
Danke :0)
[edit] Bitte beachte den Umgang mit unserem Formeleditor und starte jede Formel mit "$" und beende sie auch damit. Dann werden die Formeln besser lesbar (oder überhaupt erst lesbar. ) Klick auf eine Formel, dann erkennst du, was ich meine. Die weiteren Kommentare hat leduart ja schon geschrieben.[informix]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Di 23.05.2006 | | Autor: | rotespinne |
Hier ist wohl etwas verloren gegangen:
Die erste Aufgabe lautet wie folgt:
a [mm] \perp [/mm] (x+y) [mm] \gdw [/mm] a [mm] \perp [/mm] x und a [mm] \perp [/mm] y
Und die 2. soll heißen:
[mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel
[/mm]
So jetzt stimmt es aber :0)
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Mi 24.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
1. hinrichtung: bekannt a [mm] \perp [/mm] (x+y) dann hast du richtig ,dass daraus folgt :s(a,x)+s(a,y)=0 entweder beide Summanden 0 dann bist du fertig, oder s(a,x)=-s(a,y)=s(a,-y) daraus -y=x ,x+y=-y+y=0 und aus s(a,0) kann man nichts schliessen, bleibt nur Fall 1. (du kannst auch am Anfang fordern x+y [mm] \ne [/mm] 0!
rückrichtung hast du ja
Dein Ansatz zum 2. Teil ist Unleserlich aber [mm] |x+y|^{2}=s(x+y,x+y)
[/mm]
[mm] (|x|+|y|)^{2}=s(x,x)+s(y,y)+2\wurzel{s(x,x)*s(y,y)}
[/mm]
und davon ausgehend musst du weiter machen.
oder die Dreicksungleichung zeigen ,dass immer < gilt, wenn x,y unabh. ,d.h. NICHT gilt x=r*y
Dieselbe Frage schwirrte heute noch mal im forum rum, da kannst du auch noch suchen!
Gruss leduart
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Danke für die Korrektur :0)
Werde es dann morgen so weiterführen.
Frage noch: Wo finde ich dieselbe Frage in dem Forum nochmal?
Hab grad alles durchsucht bin aber nicht fündig geworden :(
GRüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mi 24.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
das ist der Beitrag hier
Aber da steht leider noch nix!
Gruss leduart
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Hallo leduart!
Danke :0)
Jetzt baer nochmal eine kurze Frage:
die Annahme in a ist somit richtig und die in b falsch, stimmt das?
Im anderen Beitrag steht genau das Gegenteil....
Danke und GRüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Do 25.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
> Hallo leduart!
>
> Danke :0)
>
>
> Jetzt baer nochmal eine kurze Frage:
>
> die Annahme in a ist somit richtig und die in b falsch,
> stimmt das?
Im anderen Beitrag steht die Vermutung dass eine Richtung von a) falsch ist,
und damit hat er recht! Wenn a auf x+y senkrecht steht, dann folgt NICHT
dass a auf x und y senkrecht steht (oder auch nur auf einem von ihnen! Du kannst ein einfaches Gegenbeispiel schon in der Ebene finden. (Tut mir leid, mein Beweishinweis war Quatsch!)
Zu b) steht da nur ne Frage!
Zur Rückrichtung, d.h. wenn x,y lin abh. folgt |x+y|=|x|+|y| kannst du ein einfaches Gegenbeispiel finden!
Die Hinrichtung ,|x+y|=|x|+|y| folgt x,y lin abh. musst du versuchen zu beweisen.
Also in beiden Aufgaben, eine Richtung stimmt, die andere nicht!
(für Nichtstimmen reicht immer ein Gegenbeispiel!)
Gruss leduart
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Hallo leduart!
Danke :0)
Gegenbeispiel indem ich mir einfach 3 Vektoren a, x, y nehme und dann zeige dass die linke Seite zutrifft, die recht Seite jedoch nicht, meinst du das so?
Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechne ich ja ganz einfach indem ich
folgendermaßen vorgehe:
[mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ 5} [/mm] = -2 + 15 = 13
Oder bin ich jetzt schon wieder durcheinander?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Do 25.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
Im Fall a) brauchst du was, was auf der Summe senkrecht ist, aber nicht auf de einzelnen. das kannst du im R2 direkt zeichnen, und dann in Zahlen übertragen.
Im Fall b) musst du auch nur 2 lin. abh. Vektoren finden s, dass dder Betrag der Aumme kleiner als die Summe der Beträge ist.
Mit Skalarprodukt hat das wenig zu tun, ausser, das Betrag auch skpr. mit sich ist.
Dein Skalarprodukt ist richtig, hat aber nichts mit dem Beweis zu tun.
selbst ist.
Gruss leduart
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Gut, danke :0)
Aber im Fall b geht es ja nicht um die beträge sondern um die Normen von x+y bzw, von x und y.
Und die Norm ist ja definiert durch:
Norm xon x = [mm] \wurzel{s(x,x)}
[/mm]
Aus dem Grund verstehe ich nicht warum von Beträgen gesprochen wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Do 25.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
Bei Vektoren im [mm] R^{n} [/mm] spricht man meist von Beträgen, bei anderen oft von Normen, ist aber dasselbe .
Gruss leduart
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