Beweis Quantile < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:42 So 13.11.2011 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | (a) Seien v, w : R → R zwei nichtfallende und rechtsseitig stetige Funktionen. Für jede Zufallsvariable X : Ω → R gilt dann für fast jedes y ∈ [0,1]
[mm] F^{-1}_{v(X)}(y) [/mm] = [mm] v(F^{-1}_{X}(y)) [/mm] und [mm] F^{-1}_{v(X)+w(X)}(y) [/mm] = [mm] F^{-1}_{v(X)}(y) [/mm] + [mm] F^{-1}_{w(X)}(y)
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie, dass y [mm] \le [/mm] F(x) genau dann, wenn [mm] F^{-1}(y) \le [/mm] x.
(b) Sei X integrierbar, d.h. E|X| < [mm] \infty. [/mm] Dann gilt
EX = [mm] \integral_{0}^{1}{F^{-1}_{X}(y) dy}
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie dazu die Zerlegung [mm] X=X^{+} [/mm] - [mm] X^{-} [/mm] und wenden Sie Teilaufgabe (a) an. Hilfreich dabei ist, dass EX = [mm] \integral_{0}^{\infty}{1 - F_{X}(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-\infty}^{0}{F_{X}(x) dx} [/mm] gilt, falls E|X| < [mm] \infty [/mm] sowie die Beobachtung, dass [mm] \integral_{0}^{1}{F_{X}^{-1}(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\infty}{indikator_{(0,F_{X}^{-1}(y))}(x) dx dy}}. [/mm] |
Hallo zusammen,
leider habe ich lange keine Mathevorlesung mehr gehört, bin jetzt aber mit Beginn meines Masterstudiums in Elektrotechnik wieder in eine Stochastikvorlesung eingestiegen. Deshalb bin ich nicht mehr so vertraut mit dem Jargon (und insbesondere mit korrekt ausgeführten Beweisen) und hoffe, ihr könnt mir dabei helfen, obige Aufgabe zu lösen.
Die genaue Bedeutung eines Quantils hab ich noch nicht verstanden, erkenne aber bei (a) einen linearen Zusammenhang. Weiterhin weiß ich, dass die verallgemeinerte Inverse (laut meines Skripts) definiert ist durch [mm] F_{X}^{-1} [/mm] = inf{x : [mm] F_{X}(x) \ge [/mm] y}, [mm] y\in[0,1].
[/mm]
Wie kann ich den Beweis durchführen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] F^{-1}_{v(X)}(y) [/mm] $ = $ [mm] v(F^{-1}_{X}(y)) [/mm] $
es is verdammt spät, aber ich seh nicht, wie das gelten soll.
Bsp:
$ [mm] P(X\leq [/mm] x) = [mm] \frac [/mm] 23 x * [mm] 1_{0
[mm] $v(x)=1_{x\geq 1}$
[/mm]
[mm] $F^{-1}_{v(X)}(\frac [/mm] 23) = 0$ (denn [mm] $P(v(X)=0)=\frac [/mm] 23$)
[mm] $v(F^{-1}_{X}(\frac [/mm] 23)) =1$ (denn [mm] $F^{-1}_{X}(\frac [/mm] 23)=1$)
n8
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 14.11.2011 | | Autor: | MattiJo |
eventuell daher die angabe "für fast jedes y" ? Erscheint mir etwas schwammig, die Aufgabenstellung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hmm, stimmt, hatte ich überlesen.
Eine rechtsseitig stetige Funktion hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.
An Stetigkeitsstellen gilt
[mm] $v(X)\leq [/mm] x\ [mm] \Leftrightarrow\ X\leq v^{\leftarrow}(x)$
[/mm]
(das ist von den Ungleichungen her genau die umgekehrte Richtung zu Deinem Hinweis)
wobei [mm] $v^{\leftarrow}(x) :=\inf\{z;\ v(z)>x\}$
[/mm]
(man beachte die abweichende Definition zur Quantilsfunktion)
Jetzt fängst Du mit
[mm] $v(F^{-1}_X(y))\leq [/mm] x\ [mm] \Leftrightarrow\ \ldots$
[/mm]
an, und wendest so lange die Äquivalenzen für [mm] $F^{-1}$ [/mm] und [mm] $v^\leftarrow$ an bis
$\Leftrightarrow\ F^{-1}_{v(X)}(y) \leq x$
rauskommt.
> $ F^{-1}_{v(X)+w(X)}(y) = F^{-1}_{v(X)}(y) + F^{-1}_{w(X)}(y) $
v(x)+w(x)=(v+w)(x)
v+w ist eine monoton steigende, rechtsseitig stetige Funktion. Jetzt wendest Du das erste Ergebnis an.
ciao
Stefan
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 15.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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