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| Aufgabe | | Gegeben sei eine Ordnungsrelation in einer Menge M und eine Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] M. Wenn es ein größtes Element g in A gibt, dann sind alle maximalen Elemente gleich diesem g. |
Hallo an alle Mathecracks! :)
Ich soll einen Beweis führen. Leider habe ich keinelei Idee, wie ich da ran gehen soll. Ich weiß nur, dass ich auf Definitionen zurückgreifen muss. Um den Beweis durchzuführen würde ich folgende Definitionen verwenden:
Def. der Ordnungsrelationen (OR)
Sei R [mm] \subseteq [/mm] MxM eine beliebige Relation.
R heißt strikte OR, falls
a) R irreflexiv
b) R asymmetrisch
c) R transitiv
R heißt OR, falls
a) R reflexiv
b) R antisymmetrisch
c) R transitiv
Def. Größtes und maximales Element
Sei M [mm] \not= \emptyset [/mm] eine beliebige Menge. und [mm] \subseteq [/mm] (das richtige Zeichen habe ich hier nicht gefunden. Es sieht der Teilmenge ähnlich ist jedoch eckig) eine beliebige OR.
Sei A [mm] \subseteq [/mm] M eine beliebige Teilmenge.
1) g [mm] \in [/mm] A heißt größtes Element von A falls
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \subseteq [/mm] (wieder dieses andere Zeichen) g
2) m [mm] \in [/mm] A heißt maximales Element von A falls
[mm] \neg \exists \in [/mm] A: m [mm] \not= [/mm] x [mm] \wedge [/mm] m [mm] \subseteq [/mm] (wieder das andere Zeichen) x.
Ich weiß nicht, ob die Def. der Teilmenge auch wichtig ist. Diese lautet:
Def. Teilmenge
Eine Menge M1 heißt Teilmenge der Menge M2, wenn jedes Element von M1 auch Element von M2 ist. Man schreibt dann:
M1 [mm] \subseteq [/mm] M2.
Wie muss ich jetzt vorgehen um die Aussage zu beweisen?
Wie verwende ich die Definitionen um zu zeigen, dass die Aussage wahr ist?
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
LG
DarkAngel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 04.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo DarkAngel!
> Gegeben sei eine Ordnungsrelation in einer Menge M und eine
> Teilmenge A [mm]\subseteq[/mm] M. Wenn es ein größtes Element g in A
> gibt, dann sind alle maximalen Elemente gleich diesem g.
> Hallo an alle Mathecracks! :)
>
> Ich soll einen Beweis führen. Leider habe ich keinelei
> Idee, wie ich da ran gehen soll. Ich weiß nur, dass ich auf
> Definitionen zurückgreifen muss. Um den Beweis
> durchzuführen würde ich folgende Definitionen verwenden:
>
> Def. der Ordnungsrelationen (OR)
> Sei R [mm]\subseteq[/mm] MxM eine beliebige Relation.
> R heißt strikte OR, falls
> a) R irreflexiv
> b) R asymmetrisch
> c) R transitiv
>
> R heißt OR, falls
> a) R reflexiv
> b) R antisymmetrisch
> c) R transitiv
>
> Def. Größtes und maximales Element
> Sei M [mm]\not= \emptyset[/mm] eine beliebige Menge. und [mm]\subseteq[/mm]
> (das richtige Zeichen habe ich hier nicht gefunden. Es
> sieht der Teilmenge ähnlich ist jedoch eckig) eine
> beliebige OR.
Ich nehme an, du meinst [mm]\leq[/mm] (geschrieben: \leq).
> Sei A [mm]\subseteq[/mm] M eine beliebige Teilmenge.
> 1) g [mm]\in[/mm] A heißt größtes Element von A falls
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x [mm]\subseteq[/mm] (wieder dieses andere
> Zeichen) g
>
> 2) m [mm]\in[/mm] A heißt maximales Element von A falls
> [mm]\neg \exists \in[/mm] A: m [mm]\not=[/mm] x [mm]\wedge[/mm] m [mm]\subseteq[/mm] (wieder
> das andere Zeichen) x.
Probier einen Widerspruchsbeweis:
Du beginnst mit einem größten Element [mm]g\in A[/mm], also [mm]\forall x\in A: x\leq g[/mm].
Angenommen, es gibt ein maximales Element [mm]m\in A[/mm], sodass [mm]m\not=g[/mm].
Dann versuchst du, einen Widerspruch zur Definition des maximalen Elements zu konstruieren.
Viele Grüße
Rainer
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Nein, ich meinte nicht [mm] \le. [/mm] Das Zeichen das ich meinte sieht aus wie ein Quadrat, dem die rechte Seite fehlt mit einem Strich drunter.
> Probier einen Widerspruchsbeweis:
> Du beginnst mit einem größten Element [mm]g\in A[/mm], also [mm]\forall x\in A: x\leq g[/mm].
>
> Angenommen, es gibt ein maximales Element [mm]m\in A[/mm], sodass
> [mm]m\not=g[/mm].
>
> Dann versuchst du, einen Widerspruch zur Definition des
> maximalen Elements zu konstruieren.
Wie fange ich denn bei einem Widerspruchsbeweis an?
Woher weiß ich denn, ob es ein größtes Element gibt oder dass alle maximalen Elemente gleich diesem g sind?
Mir fehlt irgendwie der Ansatz.
LG DarkAngel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 04.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo DarkAngel,
> Wie fange ich denn bei einem Widerspruchsbeweis an?
> Woher weiß ich denn, ob es ein größtes Element gibt oder
> dass alle maximalen Elemente gleich diesem g sind?
Schau die Aufagbe nochmal an: Du sollst eine Folgerung zeigen.
Wenn (Voraussetzung) es ein größtes Element g gibt, dann (Folgerung) sind alle maximalen Elemente gleich g.
Du gehst also im Beweis davon aus, dass es ein größtes Element g gibt.
Für den Widerspruchsbeweis nimmst du die Negation der Folgerung an. Die Folgerung ist: alle maximalen Elemente sind gleich g. Deren Negation ist: es gibt ein maximales Element, das ungleich g ist.
Den Anfang des Widerspruchsbeweises habe ich dir hingeschrieben: angenommen, es gebe ein maximales Element m, das ungleich g ist.
Jetzt benutze die Definition des maximalen Elements, und du bekommst einen Widerspruch.
Es gibt auch einen direkten Beweis: die Definition des maximalen Elements m sagt ja:
Es gibt kein [mm]x\in A[/mm], [mm]x\not=m[/mm], sodass [mm]m \sqsubseteq x[/mm].
Nun bedenke, dass nach der Definition des größten Elements für alle [mm]y\in A[/mm] gilt: [mm]y \sqsubseteq g [/mm], also auch für den speziellen Fall [mm]y=m[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
> Schau die Aufagbe nochmal an: Du sollst eine Folgerung
> zeigen.
> Wenn (Voraussetzung) es ein größtes Element g gibt, dann
> (Folgerung) sind alle maximalen Elemente gleich g.
>
> Du gehst also im Beweis davon aus, dass es ein größtes
> Element g gibt.
>
> Für den Widerspruchsbeweis nimmst du die Negation der
> Folgerung an. Die Folgerung ist: alle maximalen Elemente
> sind gleich g. Deren Negation ist: es gibt ein maximales
> Element, das ungleich g ist.
>
> Den Anfang des Widerspruchsbeweises habe ich dir
> hingeschrieben: angenommen, es gebe ein maximales Element
> m, das ungleich g ist.
>
> Jetzt benutze die Definition des maximalen Elements, und du
> bekommst einen Widerspruch.
Bis hierhin habe ich das verstanden. Aber was meinst du damit??
> Es gibt auch einen direkten Beweis: die Definition des
> maximalen Elements m sagt ja:
>
> Es gibt kein [mm]x\in A[/mm], [mm]x\not=m[/mm], sodass [mm]m \sqsubseteq x[/mm].
>
> Nun bedenke, dass nach der Definition des größten Elements
> für alle [mm]y\in A[/mm] gilt: [mm]y \sqsubseteq g [/mm], also auch für den
> speziellen Fall [mm]y=m[/mm].
Ich glaube wir haben noch nicht mit Widerspruchsbeweisen gearbeitet... Um die Voraussetzung zu beweisen muss ich auf die Definition zurückgreifen und zeigen dass die Folgerung mit der Definition übereinstimmt?
Ich weiß irgendwie nicht wie ich das hinschreiben soll und wie ich zeige, dass das stimmt...
Und was sagt dieses Zeichen [mm] \sqsubseteq [/mm] genau aus? Kann ich das mit [mm] \le [/mm] vergleichen?
Liebe Grüße
DarkAngel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Di 04.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo DarkAngel!
> Hallo Rainer!
>
> > Schau die Aufagbe nochmal an: Du sollst eine Folgerung
> > zeigen.
> > Wenn (Voraussetzung) es ein größtes Element g gibt,
> dann
> > (Folgerung) sind alle maximalen Elemente gleich g.
> >
> > Du gehst also im Beweis davon aus, dass es ein größtes
> > Element g gibt.
> >
> > Für den Widerspruchsbeweis nimmst du die Negation der
> > Folgerung an. Die Folgerung ist: alle maximalen Elemente
> > sind gleich g. Deren Negation ist: es gibt ein maximales
> > Element, das ungleich g ist.
> >
> > Den Anfang des Widerspruchsbeweises habe ich dir
> > hingeschrieben: angenommen, es gebe ein maximales Element
> > m, das ungleich g ist.
> >
> > Jetzt benutze die Definition des maximalen Elements, und du
> > bekommst einen Widerspruch.
>
> Bis hierhin habe ich das verstanden. Aber was meinst du
> damit??
>
> > Es gibt auch einen direkten Beweis: die Definition des
> > maximalen Elements m sagt ja:
> >
> > Es gibt kein [mm]x\in A[/mm], [mm]x\not=m[/mm], sodass [mm]m \sqsubseteq x[/mm].
> >
> > Nun bedenke, dass nach der Definition des größten Elements
> > für alle [mm]y\in A[/mm] gilt: [mm]y \sqsubseteq g [/mm], also auch für den
> > speziellen Fall [mm]y=m[/mm].
>
> Ich glaube wir haben noch nicht mit Widerspruchsbeweisen
> gearbeitet... Um die Voraussetzung zu beweisen muss ich auf
> die Definition zurückgreifen und zeigen dass die Folgerung
> mit der Definition übereinstimmt?
>
> Ich weiß irgendwie nicht wie ich das hinschreiben soll und
> wie ich zeige, dass das stimmt...
> Und was sagt dieses Zeichen [mm]\sqsubseteq[/mm] genau aus? Kann
> ich das mit [mm]\le[/mm] vergleichen?
Sorry. Ich war mir nicht sicher, welches Zeichen du gemeint hast. [mm]\sqsubseteq[/mm] hat eher auf deine Beschreibung gepasst als [mm]\le[/mm]. Wenn du [mm]\le[/mm] meinst, dann nehme ich das von jetzt an, OK?
Zurück zum Beweis.
Voraussetzung: es gibt ein größtes Element [mm]g\in A[/mm], also ist [mm]y\le g[/mm] für alle [mm]y\in A[/mm].
Angenommen, es gibt ein maximales Element [mm]m\in A[/mm]. Das bedeutet, dass es kein [mm]x\in A[/mm] gibt mit [mm]x\not=m[/mm], sodass [mm]m \le x[/mm].
Andererseits ist nach Voraussetzung [mm]m\le g[/mm].
Damit hast du zwei wahre Aussagen:
1. Es gibt kein [mm]x\in A[/mm] mit [mm]x\not=m[/mm], sodass [mm]m \le x[/mm].
2. [mm]m\le g[/mm].
Wäre [mm]g\not=m[/mm], dann würden sich beide Aussagen widersprechen. Beide sind aber richtig.
Es muss also [mm]g=m[/mm] sein.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
War schon richtig. Ich meinte dieses Zeichen [mm] \sqsubseteq. [/mm] Ich wollte nur wissen was es für eine Bedeutung hat.
>
> Sorry. Ich war mir nicht sicher, welches Zeichen du gemeint
> hast. [mm]\sqsubseteq[/mm] hat eher auf deine Beschreibung gepasst
> als [mm]\le[/mm]. Wenn du [mm]\le[/mm] meinst, dann nehme ich das von jetzt
> an, OK?
>
> Zurück zum Beweis.
>
> Voraussetzung: es gibt ein größtes Element [mm]g\in A[/mm], also ist
> [mm]y\le g[/mm] für alle [mm]y\in A[/mm].
>
> Angenommen, es gibt ein maximales Element [mm]m\in A[/mm]. Das
> bedeutet, dass es kein [mm]x\in A[/mm] gibt mit [mm]x\not=m[/mm], sodass [mm]m \le x[/mm].
>
> Andererseits ist nach Voraussetzung [mm]m\le g[/mm].
>
> Damit hast du zwei wahre Aussagen:
> 1. Es gibt kein [mm]x\in A[/mm] mit [mm]x\not=m[/mm], sodass [mm]m \le x[/mm].
> 2.
> [mm]m\le g[/mm].
>
> Wäre [mm]g\not=m[/mm], dann würden sich beide Aussagen
> widersprechen. Beide sind aber richtig.
> Es muss also [mm]g=m[/mm] sein.
Ist der Beweis dann trotz des anderen Zeichens der gleiche? Oder muss der dann geändert werden?
LG
DarkAngel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo DarkAngel!
> War schon richtig. Ich meinte dieses Zeichen [mm]\sqsubseteq.[/mm]
> Ich wollte nur wissen was es für eine Bedeutung hat.
Die Bedeutung, die du oder die Aufgabe ihm gibt. In der Aufgabe steht es für eine beliebige Ordnungsrelation.
> Ist der Beweis dann trotz des anderen Zeichens der gleiche?
Der Beweis benutzt nur die Eigenschaften der Ordnungsrelation. Welches Symbol du für die Ordnungsrelation benutzt, ist egal.
Ist dir der Beweis denn klar?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!!
Ja, den Beweis verstehe ich soweit. Aber ist das nicht nur der Beweis dafür, dass wenn ein maximales Element existiert, dass es gleichzeitig auch größtes Element von A ist?
Wie zeige ich denn, dass jedes maximale Element von A auch dem größten Element von A entsprechen oder zeige ich das mit diesem Beweis?
LG
DarkAngel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo DarkAngel!
> Ja, den Beweis verstehe ich soweit. Aber ist das nicht nur
> der Beweis dafür, dass wenn ein maximales Element
> existiert, dass es gleichzeitig auch größtes Element von A
> ist?
>
> Wie zeige ich denn, dass jedes maximale Element von A auch
> dem größten Element von A entsprechen oder zeige ich das
> mit diesem Beweis?
Ja, denn es gibt keine weitere Voraussetzung. Damit gilt die Aussage für jedes maximale Element. Da steckt das "für alle m" implizit drin.
Viele Grüße
Rainer
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Sei g [mm] \in [/mm] A größtes Element.
Wir müssen zeigen, dass alle maximalen Elemente von A gleich g sind.
D.h. wir müssen beweisen, dass
[mm] \neg \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A: m [mm] \not= [/mm] x [mm] \wedge [/mm] m [mm] \sqsubseteq [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] g=x
Sei x [mm] \in [/mm] A, so dass g [mm] \sqsubseteq [/mm] x.
Nach der Definition des größten Elements folgt x [mm] \sqsubseteq [/mm] g. Also folgt aus der Antisymmetrie von [mm] \sqsubseteq [/mm] die Aussage x=g.
Ist das richtig so, oder bin ich völlig auf dem Holzweg? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
LG
DarkAngel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo DarkAngel!
> Sei g [mm]\in[/mm] A größtes Element.
> Wir müssen zeigen, dass alle maximalen Elemente von A
> gleich g sind.
> D.h. wir müssen beweisen, dass
>
> [mm]\neg \exists x \in A: m \not= x \wedge m \sqsubseteq x \Rightarrow g=x [/mm]
Nein, sondern:
[mm]\neg \exists x \in A: m \not= x \wedge m \sqsubseteq x \Rightarrow g=m [/mm]
Die linke Seite ist eine Aussage über m, nicht über x.
Aber hier ein Tipp:
[mm]\neg \exists x \in A: m \not= x \wedge m \sqsubseteq x [/mm]
ist äquivalent zu
[mm]\forall x \in A: \neg(m \not= x \wedge m \sqsubseteq x )[/mm]
In Worten: wenn es kein x gibt, sodass die Aussage richtig ist, dann gilt für alle x, dass die Aussage falsch ist.
Viele Grüße,
Rainer
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Ist es dann richtig wenn ich sage:
Sei g [mm]\in[/mm] A größtes Element.
Wir müssen zeigen, dass alle maximalen Elemente von A
gleich g sind.
D.h. wir müssen beweisen, dass
[mm]\forall x \in A: \neg(m \not= x \wedge m \sqsubseteq x )[/mm]
ist dasselbe wie:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: m [mm] \not=x \vee [/mm] m [mm] \sqsubseteq [/mm] x
Sei x [mm] \in [/mm] A, so dass g [mm] \sqsubseteq [/mm] x.
Nach der Def. des größten Element folgt x [mm] \sqsubseteq [/mm] g.
Also folgt aus der Antisymmetrie von [mm] \sqsubseteq [/mm] die Aussage x=g
Oder habe ich jetzt wieder einen Fehler gemacht?
LG
DarkAngel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo DarkAngel!
> Ist es dann richtig wenn ich sage:
>
> Sei g [mm]\in[/mm] A größtes Element.
> Wir müssen zeigen, dass alle maximalen Elemente von A
> gleich g sind.
> D.h. wir müssen beweisen, dass
>
> [mm]\forall x \in A: \neg(m \not= x \wedge m \sqsubseteq x )[/mm]
>
> ist dasselbe wie:
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: m [mm]\not=x \vee[/mm] m [mm]\sqsubseteq[/mm] x
Ich denke, das ist falsch. Du musst ganz streng die Regeln der Logik befolgen.
Was du machen kannst, ist die Umformung [mm]\neg(A\wedge B) = \neg A \vee \neg B [/mm] :
[mm]\forall x \in A: \neg(m \not= x \wedge m \sqsubseteq x )[/mm]
zu
[mm]\forall x \in A: m = x \vee \neg (m \sqsubseteq x )[/mm]
oder: [mm]\forall x \in A: m = x \vee m \not \sqsubseteq x [/mm]
Da es für alle x gilt, gilt es natürlich auch für den Spezialfall x=g:
[mm] m =g \vee m \not \sqsubseteq g [/mm].
Andererseits ist [mm] \forall x \in A: x \sqsubseteq g [/mm], also auch [mm] m\sqsubseteq g[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Ich glaub ich hab's jetzt...
Sei g [mm] \in [/mm] A größtes Element.
Wir müssen zeigen, dass alle maximalen Elemente von A gleich g sind.
D.h. wir müssen beweisen, dass
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: m [mm] \sqsubseteq [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] m=x
Sei x [mm] \in [/mm] A, so dass g [mm] \sqsubseteq [/mm] x.
Nach der Def. des größten Elements gilt
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \sqsubseteq [/mm] g
Also folgt aus der Transitivität von [mm] \sqsubseteq [/mm] die Aussage x=g.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo DarkAngel!
> Sei g [mm] \in [/mm] A größtes Element.
> Wir müssen zeigen, dass alle maximalen Elemente von A gleich g sind.
>
> D.h. wir müssen beweisen, dass
> [mm]\forall x \in A: m \sqsubseteq x \Rightarrow m=x[/mm]
Leider nicht. Was du da hingeschrieben hast, ist eine andere Formulierung der Definition des maximalen Elements, also der Voraussetzung. Denn die Definition sagt: wenn m ein maximales Element ist, so gibt es kein [mm]x\not=m[/mm] mit der Eigenschaft [mm]m \sqsubseteq x[/mm]. Wenn also ein x die Eigenschaft [mm]m \sqsubseteq x[/mm] hat, so kann das nur der Fall sein für [mm]x=m[/mm], Alles andere wäre ein Widerspruch zur Definition.
Jetzt bedenke, dass ein größtes Element g die Eigenschaft [mm]m \sqsubseteq g[/mm] hat.
Viele Grüße
Rainer
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Sei g $ [mm] \in [/mm] $ A größtes Element.
Wir müssen beweisen, dass m größtes Element ist.
D.h. wir müssen beweisen, dass
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \sqsubseteq [/mm] m
(Definition größtes Element (g ersetzten mit m, da m ja auch größtes Element sein soll)
Da m ja aber auch gemäß Voraussetzung/Aufgabenstellzung maximales Element ist, gilt nach Definition des maximalen Elementes auch:
m [mm] \sqsubseteq [/mm] x
Aus der Antisymmetrie der Ordnungsrelation folgt m=g
aber das es besteht keine garantie auf richtigkeit 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Do 06.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei g [mm]\in[/mm] A größtes Element.
> Wir müssen beweisen, dass m größtes Element ist.
>
> D.h. wir müssen beweisen, dass
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x [mm]\sqsubseteq[/mm] m
> (Definition größtes Element (g ersetzten mit m, da m ja
> auch größtes Element sein soll)
>
> Da m ja aber auch gemäß Voraussetzung/Aufgabenstellzung
> maximales Element ist, gilt nach Definition des maximalen
> Elementes auch:
> m [mm]\sqsubseteq[/mm] x
Wieso denn das? Die Definition des maximalen Elementes bedeutet doch, dass es kein [mm]x\not=m[/mm] gibt mit [mm]m \sqsubseteq x[/mm].
Beispiel: Betrachte die Punkte im [mm]\IR^2[/mm] mit der OR
[mm](x_1,y_1) \sqsubseteq (x_2,y_2) \Longleftrightarrow x_1\le x_2 \wedge y_1 \le y_2 [/mm].
(In Worten: [mm](x_1,y_1)[/mm] liegt "links und unterhalb" von [mm](x_2,y_2)[/mm].)
Nimm als Teilmenge A ein Viertel des Einheitskreises: [mm]x^2+y^2\le 1, x\ge0, y\ge 0[/mm].
Jeder Punkt auf dem Bogen [mm]x^2+y^2= 1, x\ge0, y\ge 0[/mm] ist maximales Element, weil es kein [mm]x\in A[/mm] gibt, das "rechts und oberhalb" davon liegt.
Grüße
Rainer
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