Beweis Semiring < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Sa 16.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] und für [mm] i\in\{1,\dots,n\} [/mm] sei [mm] S_i [/mm] ein Semiring in einer Menge [mm] \Omega_i\not=\emptyset. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] S:=S_1\times \dots \times S_n :=\{A_1\times \dots \times A_n|A_i\in S_i fuer alle 1 \le i \le n\} [/mm] ist ein Semiring in [mm] \Omega_1\times \dots \times \Omega_n. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo MatheRaum-Team,
ich brüte mal wieder über einer Aufgabe, die mir etwas Schwierigkeiten bereitet. Um zu zeigen, dass es sich um einen Semiring handelt, muss auf jeden Fall folgendes gelten:
i) [mm] \emptyset\in [/mm] S
ii) [mm] A,B\in [/mm] S [mm] \Rightarrow A\cap B\in [/mm] S
iii) [mm] A,B\in [/mm] S, [mm] B\subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow \exists k\in \IN [/mm] und [mm] C_1,\dots,C_k\in [/mm] S mit [mm] C_i\cap C_j=\emptyset [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] derart, dass [mm] A-B=\bigcup_{i=1}^{k} C_i
[/mm]
Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
zu i) Offensichtlich ist [mm] \emptyset:=\emptyset_1\times\dots\times \emptyset_n\in [/mm] S, da [mm] \emptyset_i\in S_i
[/mm]
zu ii) [mm] A\cap B:=(A_1\times \dots \times A_n)\cap (B_1\times \dots \times B_n)\stackrel{\mathrm{?}}=(A_1\cap B_1)\times \dots \times (A_n\cap B_n)\in [/mm] S, da [mm] (A_i\cap B_i)\in S_i
[/mm]
zu iii) [mm] A-B:=(A_1\times \dots \times A_n)-(B_1\times \dots \times B_n)\stackrel{\mathrm{?}}=(A_1-B_1)\times \dots \times (A_n-B_n)=\bigcup_{i=1}^{k} C_i_1\times \dots \times \bigcup_{i=1}^{k} C_i_n=\bigcup_{i=1}^{k} (C_i_1\times\dots\times C_i_n)
[/mm]
Ich habe im Moment keine Idee wie ich in ii) und iii) jeweils zeigen soll, dass hier Gleichheit gilt. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 So 17.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] und für [mm] i\in\{1,\dots,n\} [/mm] sei [mm] S_i [/mm] ein Semiring in einer Menge [mm] \Omega_i\not=\emptyset. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] S:=S_1\times \dots \times S_n :=\{A_1\times \dots \times A_n|A_i\in S_i fuer alle 1 \le i \le n\} [/mm] ist ein Semiring in [mm] \Omega_1\times \dots \times \Omega_n. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo MatheRaum-Team,
ich brüte mal wieder über einer Aufgabe, die mir etwas Schwierigkeiten bereitet. Um zu zeigen, dass es sich um einen Semiring handelt, muss auf jeden Fall folgendes gelten:
i) [mm] \emptyset\in [/mm] S
ii) [mm] A,B\in [/mm] S [mm] \Rightarrow A\cap B\in [/mm] S
iii) [mm] A,B\in [/mm] S, [mm] B\subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow \exists k\in \IN [/mm] und [mm] C_1,\dots,C_k\in [/mm] S mit [mm] C_i\cap C_j=\emptyset [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] derart, dass [mm] A-B=\bigcup_{i=1}^{k} C_i
[/mm]
Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
zu i) Offensichtlich ist [mm] \emptyset:=\emptyset_1\times\dots\times \emptyset_n\in [/mm] S, da [mm] \emptyset_i\in S_i
[/mm]
zu ii) [mm] A\cap B:=(A_1\times \dots \times A_n)\cap (B_1\times \dots \times B_n)\stackrel{\mathrm{?}}=(A_1\cap B_1)\times \dots \times (A_n\cap B_n)\in [/mm] S, da [mm] (A_i\cap B_i)\in S_i
[/mm]
zu iii) [mm] A-B:=(A_1\times \dots \times A_n)-(B_1\times \dots \times B_n)\stackrel{\mathrm{?}}=(A_1-B_1)\times \dots \times (A_n-B_n)=\bigcup_{i=1}^{k} C_i_1\times \dots \times \bigcup_{i=1}^{k} C_i_n=\bigcup_{i=1}^{k} (C_i_1\times\dots\times C_i_n)
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Ich habe im Moment keine Idee wie ich in ii) und iii) jeweils zeigen soll, dass hier Gleichheit gilt. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank schon mal.
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Hallo kegel53,
> Sei [mm]n\in\IN[/mm] und für [mm]i\in\{1,\dots,n\}[/mm] sei [mm]S_i[/mm] ein Semiring
> in einer Menge [mm]\Omega_i\not=\emptyset.[/mm] Zeigen Sie:
> [mm]S:=S_1\times \dots \times S_n :=\{A_1\times \dots \times A_n|A_i\in S_i fuer alle 1 \le i \le n\}[/mm]
> ist ein Semiring in [mm]\Omega_1\times \dots \times \Omega_n.[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo MatheRaum-Team,
>
> ich brüte mal wieder über einer Aufgabe, die mir etwas
> Schwierigkeiten bereitet. Um zu zeigen, dass es sich um
> einen Semiring handelt, muss auf jeden Fall folgendes
> gelten:
> i) [mm]\emptyset\in[/mm] S
> ii) [mm]A,B\in[/mm] S [mm]\Rightarrow A\cap B\in[/mm] S
> iii) [mm]A,B\in[/mm] S, [mm]B\subseteq[/mm] A [mm]\Rightarrow \exists k\in \IN[/mm]
> und [mm]C_1,\dots,C_k\in[/mm] S mit [mm]C_i\cap C_j=\emptyset[/mm] für
> [mm]i\not=j[/mm] derart, dass [mm]A-B=\bigcup_{i=1}^{k} C_i[/mm]
>
> Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
> zu i) Offensichtlich ist
> [mm]\emptyset:=\emptyset_1\times\dots\times \emptyset_n\in[/mm] S,
> da [mm]\emptyset_i\in S_i[/mm]
Nein, [mm] \emptyset[/mm] und [mm](\emptyset, \emptyset, \ldots, \emptyset)[/mm] sind zwei völlig verschiedene Dinge. Sonst stimmts aber.
>
> zu ii) [mm]A\cap B:=(A_1\times \dots \times A_n)\cap (B_1\times \dots \times B_n)\stackrel{\mathrm{?}}=(A_1\cap B_1)\times \dots \times (A_n\cap B_n)\in[/mm]
> S, da [mm](A_i\cap B_i)\in S_i[/mm]
Hier mußt Du keine Gleichheit zweier n-facher Cartesischer Produkte zeigen; nur, dass mit [mm] (A_1 , \ldots, A_n), \; (B_1, \ldots, B_n) \in S_1 \times \ldots S_n[/mm] auch [mm](A_1 cap B_1, \ldots, A_n \cap B_n) \in S_1 \times \ldots, S_n[/mm] liegt. Entsprechend bei Teil (III). Nach Def. des n-fachen Cartesischen Produkts passiert das aber genau dann, wenn [mm]A_i \cap B_i \in S_i, i=1,\ldots,n[/mm].
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 So 17.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hallo zahlenspieler,
ers mal vielen Dank. Nur ich verstehe nicht ganz wie ich ohne die Gleichheit der beiden n-fachen Cartesischen Produkte zu zeigen die Aufgabe bewältigen soll.
Ich weiß doch gar nicht ob [mm] (A_1\times \dots \times A_n)\cap (B_1\times \dots \times B_n) [/mm] das gleiche ist wie [mm] (A_1\cap B_1)\times \dots \times (A_n\cap B_n). [/mm] Mir fällt [mm] (A_1\cap B_1)\times \dots \times (A_n\cap B_n) [/mm] ja nicht irgendiwe in den Schoß, um es mal salopp zu formulieren  . Und wenn ich das nicht weiß kann ich auch nicht sagen ob ich nun [mm] A\cap B\in [/mm] S gezeigt habe oder?
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> Hallo zahlenspieler,
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> ers mal vielen Dank. Nur ich verstehe nicht ganz wie ich
> ohne die Gleichheit der beiden n-fachen Cartesischen
> Produkte zu zeigen die Aufgabe bewältigen soll.
> Ich weiß doch gar nicht ob [mm](A_1\times \dots \times A_n)\cap (B_1\times \dots \times B_n)[/mm]
> das gleiche ist wie [mm](A_1\cap B_1)\times \dots \times (A_n\cap B_n).[/mm]
> Mir fällt [mm](A_1\cap B_1)\times \dots \times (A_n\cap B_n)[/mm] ja
> nicht irgendiwe in den Schoß, um es mal salopp zu
> formulieren . Und wenn ich das nicht weiß kann ich auch
> nicht sagen ob ich nun [mm]A\cap B\in[/mm] S gezeigt habe oder?
OK, aberBedingung 2 der Definition des Semirings sagt doch: Mit zwei Teilmengen (in diesem Fall Tupel-Teilmengen [mm]A:=\{(a_1, \ldots, a_n) | a_i \in S_i\}[/mm] bzw. [mm]B:=\{(b_1, \ldots, b_n) | b_i \in S_i\}[/mm] liegt auch deren Durchschnitt wieder in S; aber aus welchen Elementen besteht der? Doch aus denjenigen Tupeln [mm](x_1, \ldots, x_n)[/mm] fuer die gilt [mm](x_1, \ldots, x_n) \in A \wedge (x_1, \ldots, x_n) \in B[/mm].
D.h. wenn Du jetzt die [mm]i[/mm]-ten 'Projektionen' [mm]f_i: S \to S_i, (x_1, \ldots, x_n) \mapsto x_i\;\forall i \in \{1, \dots,n\}[/mm] betrachtest, dann liegt ein Element im Schnitt genau dann, wenn nfür jedes [mm]i \in \{1,\dots,n\}[/mm]
[mm] f_i((x_1, \ldots, x_n))[/mm] in [mm]f_i(A) \cap f_i(B)[/mm] liegt. Das wiederum ergibt sich aber daraus, dass die [mm] S_i[/mm] selbst Semiringe sind.
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 18.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hallo zahlenspieler,
ich musste mir deine Antwort mehrmlas durchlesen bis ich sie einigermaßen verstanden hatte und da gibts sicherlich nichts dran auszusetzen. Ich fürchte nur, dass ich es auf diesem Wege nicht zeigen kann. Es wäre daher echt klasse, wenn man den Nachweis etwas einfacher gestalten könnte. Gibt es denn keinen einfachen Weg wie ich kurz die Gleichheit von [mm] (A_1\times \dots \times A_n)\cap (B_1\times \dots \times B_n) [/mm] und [mm] (A_1\times \dots \times A_n)\cap (B_1\times \dots \times B_n) [/mm] zeigen kann? Besten Dank schon mal.
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Hallo kegel53,
> Hallo zahlenspieler,
> ich musste mir deine Antwort mehrmlas durchlesen bis ich
> sie einigermaßen verstanden hatte und da gibts sicherlich
> nichts dran auszusetzen. Ich fürchte nur, dass ich es auf
> diesem Wege nicht zeigen kann. Es wäre daher echt klasse,
> wenn man den Nachweis etwas einfacher gestalten könnte.
Nun ja, das geht mir beim Durchlesen von Beweisen anderer Leute oft auch so . Also gut, Du müßtest dann zeigen: [mm] (x_1, \ldots, x_n) \in (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \times B_2) \times\dots \times (A_n \cap B_n) \gdw
(x_1,x_2, \dots, x_n) \in (A_1 \times A_2 \times\dots \times A_n) \cap (B_1 \times B_2 \times \dots \times B_n)[/mm] gilt.
[mm]=>[/mm]: Es sei [mm](x_1, \dots, x_n) \in (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \times B_2) \dots (A_n \cap B_n) \gdw
x_i \in A_i \cap B_i, i=1, \ldots, n[/mm]. ....
(Dann die Def. des Durchschnitts anwenden usw.)
Das dumme ist, daß hier noch nicht der Fall disjunkter schnittmengen drin ist.
Gruß
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:25 Di 19.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich bedanke mich recht herzlich!
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