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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Do 29.04.2010 | | Autor: | JanaM. |
| Aufgabe | Seien [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] positive reelle Zahlen.
(a) Beweisen Sie, dass <.,.>:R²xR² gemäß <x,y>:= [mm] \alpha y_{1}x_{1} [/mm] + [mm] \beta y_{2}x_{2} [/mm] ein Skalarprodukt auf R² ist.
(b) Weisen Sie weiterhin nach, dass mit [mm] \IG [/mm] := [mm] \pmat{ \alpha & 0 \\ 0 & \beta } [/mm] für jede Wahl von x und y aus R² die Beziehung
<x,y> [mm] =x^{T} \IG [/mm] y gilt.
(c) Geben Sie die zum Skalarprodukt <.,.> zugehörige Norm [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] und die dadurch induzierte Matrix d an.
(d) Skizzieren Sie im Fall [mm] \alpha=2, \beta=3 [/mm] die Menge {x [mm] \in [/mm] R² : [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] =1}. |
Diese Aufgabe macht mit unter weiteren gerade das Leben schwer :)
zu (a) Hier muss ich ja die 4 Axiome für das Skalarprodukt nachweisen. Diese kenne ich, nur habe ich derzeit noch ein Brett vorm Kopf bezüglich dem Einsetzen des nachzuweisenden Skalarprodukts in diese Beweisgleichungen. Wie gehe ich zum Beispiel vor, wenn ich zeigen soll, dass <x,x> > 0 ist... verwende ich dann einfach zweimal [mm] \alpha y_{1}x_{1} [/mm] ?
zu (b) [mm] x^{T} \IG [/mm] y bedeutet ja folgendes: ( [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] ) [mm] \pmat{ \alpha & 0 \\ 0 & \beta } \vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{ \alpha x_{1}y_{1} \\ \beta x_{2}y_{2}} [/mm] ...aber wie gehe ich jetzt weiter vor?
zu (c) dazugehörige Norm: [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] : [mm] \wurzel{\alpha x_{1} ² +\beta x_{2} ² } [/mm] ...(beide Werte unter der Wurzel sind zum Quadrat, dies kann ich nur irgendwie nicht einstellen :)) wie bekomm ich dazu dann die induzierte Metrik?
zu (d) Hier kann ich in meine Norm einsetzen: [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] : [mm] \wurzel{\alpha x_{1} ² +\beta x_{2} ² }=1 \mapsto \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ²=1 [mm] \mapsto \alpha x_{1} [/mm] ² [mm] +\beta x_{2} [/mm] ² =1 [mm] \mapsto \bruch{x_{1} ² }{\wurzel{\alpha}} [/mm] + [mm] \bruch{x_{2} ² }{\wurzel{\beta}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{\alpha \beta}} [/mm] (hier lässt sich wieder nicht darstellen, dass beide x zum Quadrat sind) jedenfalls kann ich jetzt für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] die Werte einsetzen, dann setze ich jeweils eines der zwei x gleich Null und komme so zu [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{3}}. [/mm] Dies ist dann eine Ellipse.
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet. Vielleicht kennt auch jemand eine gute Internetseite oder ein Buch, in welchem die Themen Skalarprodukt/Metrik/Norm etc. verständlich mit Beispielen behandelt werden.
Vielen Dank schonmal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Es ist doch $<x,x> = [mm] \alpha x_1^2+\beta x_2^2$ [/mm] !!!
Zu b):
Es ist
[mm] $(x_{1}, x_{2})* \pmat{ \alpha & 0 \\ 0 & \beta } [/mm] * [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] = [mm] (x_{1}, x_{2})*\vektor{\alpha y_{1} \\ \beta y_{2}}= [/mm] ????$
Zu c)
$||x||= [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{\alpha x_1^2+\beta x_2^2}$ [/mm]
und damit
$d(x,y) = ||x-y||= ???$
Zu d): Das mit dem "nullsetzen" ist doch Unfug !
Du bekommst: [mm] $2x_1^2+3x_2^2=1$. [/mm] Das ist die Gleichung einer Ellipse
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:28 Do 29.04.2010 | | Autor: | JanaM. |
danke für die schnelle antwort :)
... ich habe mich jetzt nochmal an (a) versucht (bitte aber zu berücksichtigen, dass ich durch das Thema leider noch nicht ganz durchgestiegen bin, aber mir sehr daran gelegen ist)
zu den nachzuweisenden Bedingungen:
(S1): [mm] \alpha y_{1} x_{1} [/mm] + [mm] \beta y_{2} x_{2} [/mm] = [mm] \alpha x_{1} y_{1} [/mm] + [mm] \beta x_{2} y_{2} [/mm] ist wahr
(S2) [mm] \alpha x_{1} [/mm] ² + [mm] \beta x_{2} [/mm] ² > 0 ist wahr
(S3) für x,y,z aus V gilt: <x+y,z> = <x,y> + <x,z> . weiterhin gilt nach Lemma: <x,y> + <x,z> = <x,y+z>
also: [mm] \alpha( y_{1} [/mm] + [mm] x_{1} )z_{1} [/mm] + [mm] \beta( y_{2} [/mm] + [mm] x_{2} )z_{2} [/mm] = [mm] \alpha( y_{1} [/mm] + [mm] z_{1} )x_{1} [/mm] + [mm] \beta( y_{2} [/mm] + [mm] z_{2} )x_{2} [/mm] = [mm] \alpha y_{1}x_{1} [/mm] + [mm] \alpha z_{1}x_{1} [/mm] + [mm] \beta y_{2}x_{2} [/mm] + [mm] \beta z_{2}x_{2} [/mm] ist wahr
(S4) für [mm] \gamma \in \IR [/mm] und x,y [mm] \in [/mm] V gilt: < [mm] \gamma [/mm] x,y> = [mm] \gamma [/mm] <x,y>
[mm] \gamma [/mm] ( [mm] \alpha y_{1}x_{1} [/mm] + [mm] \beta y_{2}x_{2} [/mm] ) = [mm] \alpha y_{1} \gamma x_{1} [/mm] + [mm] \beta y_{2} \gamma x_{2} [/mm] ist wahr (der Unterschied zwischen der rechten und linken Seite der Gleichung ist ja lediglich, dass auf der linken [mm] \gamma [/mm] ausgeklammert wurde)
zu (b) als Ergebnis erhalte ich (nicht wie vorhin) [mm] (\alpha y_{1} x_{1}, \beta y_{2} x_{2}). [/mm] Nur wie weise ich dann die Beziehung nach? Die Gleichung des Skalarprodukts steht ja nun praktisch "im" Vektor, nur kann ich da ja sicherlich nicht einfach ein Plus reinschreiben und bin damit fertig.
zu (c) und (d) habe ich keine Fragen mehr :)
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob der erste Teil meiner Aufgabe nun richtig gelöst ist. Auch bei (b) würde ich mich über ein paar weitere Hinweise freuen.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Fr 30.04.2010 | | Autor: | JanaM. |
(S3) ist falsch. lautet etwas anders
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mo 03.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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