Beweis Summe 1/k! < 14/5 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass k! > [mm] 2^k [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 5 gilt und folgere daraus dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] < [mm] \bruch{14}{5}
[/mm]
Hinweis; Behandle den Fall n [mm] \le [/mm] 4 gesondert. |
Hallo,
ich habe gezeigt das k! > [mm] 2^k [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 5 gilt,
wenn ich jetzt wie im Hinweis empfohlen wird n=4 in die Summe einsetze bekomme ich [mm] \bruch{325}{120} [/mm] < [mm] \bruch{14}{5}=\bruch{336}{120}
[/mm]
Ich glaube es ist auch kein Zufall das der Nenner gerade 5! ist, aber ich komme einfach nicht auf den Zusammenhang mit [mm] 2^k [/mm] und kann dementsprechend nicht folgern.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch die Reihe ab n=5 durch eine geom Reihe ab n=5 mit q=1/2 abschätzen, und bis 5 die geom und die mit 1/k! einzeln rechnen.
Gruss leduart
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Ich weiß garnicht ob ich sie verwenden dürfte denn wir haben die geometrische Reihe nicht eingeführt.
Wie funktioniert denn so eine Abschätzung?
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Hi!
> Wie funktioniert denn so eine Abschätzung?
Du weist, das [mm]k! \ge 2^k[/mm]
Daraus folgt, dass [mm]\frac{1}{k!} \le \frac{1}{2^k}[/mm]
Damit ist auch: [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!} \le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{2^k} [/mm]
[mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{2^k} [/mm] kann man umschreiben als: [mm]\summe_{k=0}^{n}(\bruch{1}{2})^k [/mm]
Die geometrische Reihe ist: [mm]g_n=\summe_{k=0}^{n}q^k=\bruch{1}{1-q} (n\to\infty)[/mm]
In deinem Fall also: [mm]\summe_{k=0}^{n}(\bruch{1}{2})^k = \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2[/mm]
Valerie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Di 01.05.2012 | | Autor: | helicopter |
Vielen Dank, ich habs jetzt verstanden.
Der Fall n [mm] \le [/mm] 4 wird gesondert behandelt weil n! > [mm] 2^n [/mm] erst ab der 5 gezeigt wurde, das heißt ab n=5 darf ich die geometrische Reihe nutzen?
Also ich habs jetzt so aufgeschrieben:
[mm] \summe_{k=5}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] < [mm] \summe_{k=5}^n(\bruch{1}{2})^k [/mm]
==> [mm] \summe_{k=1}^{4}\bruch{1}{k!}+\summe_{k=5}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{4}\bruch{1}{k!}+\summe_{k=5}^n(\bruch{1}{2})^k [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{4}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=1}^4(\bruch{1}{2})^k)+\summe_{k=0}^n(\bruch{1}{2})^k
[/mm]
Wenn man die Summen ausrechnet kommt etwas knapp unter [mm] \bruch{14}{5} [/mm] raus, ich denke das stimmt so.
Nochmals vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Di 01.05.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Allgemein muss ich ehrlich sagen, dass ich die Aufgabe ziemlich stumpf finde.
Die Reihe geht für [mm] n\to \infty [/mm] zu e. Also ist für [mm] n<\infty [/mm] die Reihe $ [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
Dass die Reihe gen e geht wäre zu zeigen, aber kein Problem.
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