Beweis Summe Gauss < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:19 Sa 17.05.2008 | | Autor: | dk-netz |
| Aufgabe | Beweisen Sie, das für 2 teilerfremde natürliche Zahlen die folgende Aussage gilt:
[m]\sum\limits_{j=1}^{n-1}\lfloor \bruch{jm}{n} \rfloor = \bruch{(m-1)(n-1)}{2}[/m] |
Hallo,
ich versuche mich gerade an der obigen Aufgabe. Ich denke, dass sich diese Gleichung per Induktion über n beweisen lassen müsste, oder? Da gibt es aber ein Problem, dass nach Induktionvoraussetzung [mm] $\bruch{(m-1)(n-1)}{2} [/mm] + [mm] \lfloor \bruch{n m}{n+1} \rfloor$ [/mm] dasteht, und das lässt sich ja nicht mehr weiter zusammenfassen. Was mache ich falsch? Oder gibt es einfach eine andere Möglichkeit den Beweis zu führen?
Danke
Gruß
dk-netz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich denke nicht dass vollständige Induktion funktioniert. Denn wie willst du auf [mm] $$\sum_{j=1}^n\lfloor\frac{jm}{n+1}\rfloor=\left(\sum_{j=1}^ {n-1}\lfloor\frac{jm}{n+1}\rfloor\right)+\lfloor\frac{nm}{n+1}\rfloor$$die [/mm] Induktionsvoraussetzung anwenden? Abgesehen davon dass da noch das $n+1$ im Nenner steht (du bräuchtest ein n), kannst du die I.V. ja auch nur anwenden, wenn aus $ggT(n,m)=1$ folgt dass $ggT(n-1,m)=1$, und das ist i.A. nicht erfüllt.
Es geht wahrscheinlich direkt besser. Um auf Ideen zu kommen solltest du einfach ein paar Beispiele durchrechnen, und schauen ob dir irgendwas auffällt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 18.05.2008 | | Autor: | dk-netz |
Hallo,
danke für die Antwort.
Das mit der Induktion stimmt natürlich. Ich habe jetzt mal einige Beispiele gemacht. Was mir aufgefallen ist, ist folgendes:
- der erste und letzte Summand der Summe ergibt addiert m-1, der 2. und der vorletzte ebenfalls, usw.
- außerdem gibt es [mm] $\bruch{n-1}{2}$ [/mm] Paare (von den eben beschriebenen Paare)
Aber das hilft mir nicht wirklich weiter... Hat jemand noch einen Tipp oder eine Idee?
Gruß
dk-netz
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:04 So 18.05.2008 | | Autor: | dk-netz |
Danke,
der Hinweis ist zwar interessant, aber er hilft ja eigentlich nicht weiter. Ich muss ja beweisen das die obige Formel gilt, ich will sie ja nicht herleiten!
Hat sonst niemand eine Idee?
Gruß
dk-netz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Di 20.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 18.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> - der erste und letzte Summand der Summe ergibt addiert
> m-1, der 2. und der vorletzte ebenfalls, usw.
> - außerdem gibt es [mm]\bruch{n-1}{2}[/mm] Paare (von den eben
> beschriebenen Paare)
Also wenn ich jetzt nicht vollkommen daneben liege hast du doch damit (zumindest für ungerades n) die Behauptung gezeigt, denn [mm] $$(m-1)\cdot\frac{n-1}{2}=\frac{(m-1)(n-1)}{2}$$oder [/mm] nicht? 
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