Beweis: Summe mit Binomialkoef < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Do 19.10.2006 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*2^{k}*\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] |
Das ganze habe ich jetzt mit Induktion versucht.
Induktionsanfang ist kein Problem, aber ich weiß nicht, wie ich das ganze für n+1 nach [mm] (-1)^{(n+1)} [/mm] umstellen kann.
Das Problem ist der Binomialkoeffizent und die Summe zusammen.
Ich habe versucht [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] umzustellen nach [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n-k+1}. [/mm] Dann habe ich zwar mein [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*2^{k}*\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] in der Gleichung (ich habe davor den Summanden für n+1 abgespalten), kann aber die Summe noch nicht auflösen. Dieser Ansatz ist so wie viele andere die ich versucht habe also falsch. Ich komme bei [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*2^{k}*\\vektor{n \\ k}*\bruch{n+1}{n-k+1} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1}*2^{n+1} [/mm] nicht weiter. Da steckt zwar schon die Induktionsvorraussetzung drin, aber ich finde keinen weg diese aufzulösen.
Ich denke jetzt schon 4 Stunden drüber nach und das war eigentlich die sinnvollste Möglichkeit, die mir eingefallen ist (ich hatte auch noch die Idee den Binomialkoeffizenten in 2 einzelne aufzuteilen, was aber auch falsch ist. Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Grüße Max.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Do 19.10.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
hier der ausführliche Beweis des binomischen Lehrsatzes. Für deien Speziellen Fall setze $x=1$ und $y=-2$ (oder $x=-2$ und $y=1$).
Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über n.
$n=0$
[mm] $\sum_{k=0}^0\binom{0}{k}x^{0-k}y^k\,=\,\binom{0}{0}x^0y^0\,=\,1\,=\,(x+y)^0$
[/mm]
[mm] $n\to [/mm] n+1$
[mm] $(x+y)^{n+1}\,=\,(x+y)^{n+1}(x+y)\,=\,(x+y)^nx+(x+y)^ny$
[/mm]
[mm] $=\,\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k\,+\,\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k+1}$
[/mm]
[mm] $=\,\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k\,+\,\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^k$
[/mm]
[mm] $=\,\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k\,+\,\binom{n}{n+1}x^{n+1-(n+1)}y^{n+1}$
[/mm]
[mm] $+\,\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^k\,+\,\binom{n}{0-1}x^{n-1-0}y^{0}$
[/mm]
[mm] $=\,\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k\,+\,\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^k$
[/mm]
[mm] $=\,\sum_{k=0}^{n+1}\left(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right)x^{n+1-k}y^k$
[/mm]
[mm] $=\,\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^{n+1-k}y^k$
[/mm]
Dabei wurde folgendes verwendet:
1. Umnummerierung der 2. Reihe: Dazu gilt:
[mm] $\sum_{k=0}^na_{k+1}\,=\,\sum_{k=1}^{n+1}a_k$
[/mm]
2. Hier wurde durch Addition von 0 ergänzt. Man beachte:
[mm] $\binom{n}{n+1}x^{n+1-(n+1)}y^{n+1}\,=\,0$ [/mm] und [mm] $\binom{n}{0-1}x^{n-1-0}y^{0}\,=\,0$
[/mm]
3. Durch Umformung des Additionstheorems erhält man:
[mm] $\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\,=\,\binom{n+1}{k}$ [/mm]
Hoffe dass hilft Dir weiter.
Ciao Denny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 20.10.2006 | | Autor: | max3000 |
Vielen Dank.
Das hab ich verstanden.
Jetzt könnt ich mir in den Hintern beißen, dass ich 4 stunden versucht habe den Binomialkoeffizent auseinander zu nehmen.
Ich habe aber noch eine zweite Aufgabe, die ziemlich ähnlich ist:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{k+1}\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Induktionsanfang ist kein Problem. Nur der Schritt ist kompliziert.
Ich habe in der Formelsammlung gefunden, dass:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n \\ k} [/mm] = 0 ist.
Aber da fehlt noch das 1/(k+1).
Ich müsste eigentlich nur beim Induktionsschritt das [mm] (-1)^{k}\vektor{n \\ k} [/mm] weglassen und komme auf:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}1/(k+1) [/mm] = 1/(n+2),
was ja bei dem Beweis am Ende rauskommen soll.
Also setze ich nur n+1 für k ein.
Aber kann mir jemand erklären warum das so ist?
Oder habe ich vielleicht einen Fehler in meinem Ansatz?
Grüße
Max
|
|
|
| |
|
Hallo,
guck mal da:
https://matheraum.de/read?i=101394
Gruß v. Angela
|
|
|
|
