Beweis Teilbarkeit < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Do 25.10.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Es sei [mm] U_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] mit einem ungeraden n.
Zeige: [mm] n^2 [/mm] | [mm] U_n. [/mm] |
Ich bräuchte zu folgendem Beweis ein paar Anregungen.
1. Bedingung ist n ungerade. Soll ich von vornherein mit 2n+1 statt n rechnen?
2. Die kubische Summenformel führt mich zu [mm] U_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^2 [/mm] .
3. Als nächstes möchte ich die Teilbarkeit nachweisen. Dazu setze ich mal folgendermaßen an:
[mm] \bruch{ (\bruch{n(n+1)}{2})^2}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} \cdot \bruch{1}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2}{4}
[/mm]
Jetzt möchte ich Punkt 1 irgendwie ins Spiel bringen, dass n ungerade sein muss. Wie mache ich das nur? Mein erster Gedanke war ein a [mm] \in \IN [/mm] einzuführen, sodass n = 2a+1. Dann wäre
[mm] \bruch{(2a+1+1)^2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{(2a+2)^2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{(4a^2 + 4a + 4)}{4} [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + a + 1
Da a [mm] \in \IN [/mm] ist, müsste dann doch auch [mm] a^2 [/mm] + a + 1 [mm] \in \IN [/mm] sein.
Demnach hätte ich doch eine natürliche Zahl als Ergebnis (den Teiler nachgewiesen) und gleichzeitig ist n ungerade.
Ist meine Argumentation etwas krumm/falsch oder kann man das so halbwegs stehen lassen? Bin noch Neuling auf dem Gebiet.
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Hallo MattiJo,
da siehst Du den Wald vor lauter Bäumen nicht.
> Es sei [mm]U_n[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] mit einem ungeraden n.
> Zeige: [mm]n^2[/mm] | [mm]U_n.[/mm]
> Ich bräuchte zu folgendem Beweis ein paar Anregungen.
>
> 1. Bedingung ist n ungerade. Soll ich von vornherein mit
> 2n+1 statt n rechnen?
Kannst Du machen, musst Du aber nicht. Oder Du kannst die Ersetzung später vornehmen. Bei Variablenersetzungen würde ich allerdings immer darauf achten, neue Bezeichnungen zu nehmen, sonst kommt man schnell durcheinander. Hier also weder 2n+1 noch 2k+1, sondern lieber n=2s+1 schreiben.
> 2. Die kubische Summenformel führt mich zu [mm]U_n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] = [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^2[/mm] .
Wenn Du die nehmen darfst, dann ist doch schon alles gegessen.
> 3. Als nächstes möchte ich die Teilbarkeit nachweisen.
> Dazu setze ich mal folgendermaßen an:
>
> [mm]\bruch{ (\bruch{n(n+1)}{2})^2}{n^2}[/mm] = [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4} \cdot \bruch{1}{n^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{(n+1)^2}{4}[/mm]
Es ist also zu zeigen, dass (n+1) gerade ist.
> Jetzt möchte ich Punkt 1 irgendwie ins Spiel bringen, dass
> n ungerade sein muss. Wie mache ich das nur? Mein erster
> Gedanke war ein a [mm]\in \IN[/mm] einzuführen, sodass n = 2a+1.
Besser ist n=2a-1, sofern die Null nicht zu [mm] \IN [/mm] gehört.
> Dann wäre
>
> [mm]\bruch{(2a+1+1)^2}{4}[/mm] = [mm]\bruch{(2a+2)^2}{4}[/mm] = [mm]\bruch{(4a^2 + 4a + 4)}{4}[/mm]
> = [mm]a^2[/mm] + a + 1
>
> Da a [mm]\in \IN[/mm] ist, müsste dann doch auch [mm]a^2[/mm] + a + 1 [mm]\in \IN[/mm]
> sein.
> Demnach hätte ich doch eine natürliche Zahl als Ergebnis
> (den Teiler nachgewiesen) und gleichzeitig ist n ungerade.
> Ist meine Argumentation etwas krumm/falsch oder kann man
> das so halbwegs stehen lassen? Bin noch Neuling auf dem
> Gebiet.
Es geht so, aber es reicht doch auch [mm] \bruch{(n+1)^2}{4}=\left(\bruch{n+1}{2}\right)^2 [/mm] ist ganzzahlig, wenn n+1 gerade ist. Und da n ungerade ist...
Grüße
reverend
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