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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass K={x+y* [mm] \wurzel{2} \in \IR [/mm] | x,y [mm] \in \IQ} [/mm] ein Teilkörper von [mm] \IR [/mm] ist. |
so weit habe ich gezeigt, dass (K,+) eine Untergruppe von (R,+) ist und dass (K \ {0}, *) Untergruppe von [mm] (\IR [/mm] \ {0}, *) ist. (Ich hoffe genau das gilt es zu Zeigen...) Ich habe für jeden dieser zwei Unterpunkte gezeigt, dass das Neutralelement [mm] \in [/mm] K ist, K abgeschlossen ist und dass wenn x [mm] \in [/mm] K dann auch [mm] x^{-1} \in [/mm] K (das ist doch richtig oder habe ich etwas vergessen?). An einer Stelle habe ich allerdings Probleme und zwar bei dem finden der Inversen in der Untergruppe (K \ {0}, *) ich habe folgendes aufgeschrieben:
a [mm] \in [/mm] K [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] K
[mm] \Rightarrow (x+y\wurzel{2})*(x+y\wurzel{2})^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{(x+y\wurzel{2})} [/mm] * [mm] (x+y\wurzel{2}) [/mm] = 1
Daraus ist zwar ersichtlich, dass es 1 ergibt und dass ich das Inverse Element gefunden habe, allerdings ist nicht ersichtlich, dass das inverse Element tatsächlich [mm] \in \IQ [/mm] ist oder? Wie kann ich das zeigen?
VIELEN DANK!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo macpersil und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> so weit habe ich gezeigt, dass (K,+) eine Untergruppe von
> (R,+) ist und dass (K \ {0}, *) Untergruppe von [mm](\IR[/mm] \ {0},
> *) ist. (Ich hoffe genau das gilt es zu Zeigen...)
Ja, genau.
> Ich habe
> für jeden dieser zwei Unterpunkte gezeigt, dass das
> Neutralelement [mm]\in[/mm] K ist, K abgeschlossen ist und dass
> wenn x [mm]\in[/mm] K dann auch [mm]x^{-1} \in[/mm] K (das ist doch richtig
> oder habe ich etwas vergessen?).
Alles korrekt.
> An einer Stelle habe ich
> allerdings Probleme und zwar bei dem finden der Inversen in
> der Untergruppe (K \ {0}, *) ich habe folgendes
> aufgeschrieben:
>
Zu zeigen:
> a [mm]\in[/mm] [mm] K\red{\setminus\{0\}}[/mm] [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] K
> [mm]\Rightarrow (x+y\wurzel{2})*(x+y\wurzel{2})^{-1}[/mm]
Was will uns diese Zeile sagen? Da steht einfach nur: [mm] "$\Rightarrow [/mm] 1$".
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{(x+y\wurzel{2})}[/mm] * [mm](x+y\wurzel{2})[/mm] =
> 1
>
> Daraus ist zwar ersichtlich, dass es 1 ergibt und dass ich
> das Inverse Element gefunden habe, allerdings ist nicht
> ersichtlich, dass das inverse Element tatsächlich [mm]\in \IQ[/mm]
> ist oder? Wie kann ich das zeigen?
Natürlich gibt es in [mm] $\IR$ [/mm] zu [mm] $a=x+y\wurzel2\in K\setminus\{0\}$ [/mm] ein Inverses Element [mm] $a^{-1}=\bruch1{x+y\wurzel2}\in\IR$. [/mm] Damit [mm] $K\setminus\{0\}$ [/mm] tatsächlich als Untergruppe identifiziert wird, ist [mm] $a^{-1}=\bruch1{x+y\wurzel2}\in K\setminus\{0\}$ [/mm] zu zeigen. In [mm] $\IQ$ [/mm] muss und wird [mm] $a^{-1}$ [/mm] dagegen i.A. nicht liegen.
Zeige [mm] $x-y\wurzel2\not=0$ [/mm] (hier benötigst du [mm] $a\not=0$) [/mm] und erweitere mit dieser Zahl [mm] $x-y\wurzel2$:
[/mm]
[mm] $a^{-1}=\bruch1{x+y\wurzel2}=\bruch{x-y\wurzel 2}{(x+y\wurzel2)(x-y\wurzel2)}=\ldots$.
[/mm]
Rechne weiter, bis du [mm] $a^{-1}\in K\setminus\{0\}$ [/mm] sehen kannst.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 So 28.10.2012 | | Autor: | macpersil |
>tatsächlich als Untergruppe identifiziert wird, ist zu >zeigen. In [mm] \IQ [/mm] muss und wird dagegen i.A. nicht liegen.
oww ich meinte natürlich [mm] a^{-1} [/mm] wird in K liegen mit x und y aus [mm] \IQ [/mm]
hmm also wenn ich den erweiterten bruch weiter rechne komme ich auf:
[mm] \bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2} +x xy \wurzel{2}+(y\wurzel{2})^{2}} [/mm] aber wie hilft mir das weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 So 28.10.2012 | | Autor: | macpersil |
ich meine natürlich
[mm] \bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2} +2 xy \wurzel{2}+(y\wurzel{2})^{2}} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ich meine natürlich
> [mm]\bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2} +2 xy \wurzel{2}+(y\wurzel{2})^{2}}[/mm]
Bitte stelle auch Rückfragen als Fragen, nicht als Mitteilungen.
Da hast du dich im Nenner verrechnet. Probier es einfach noch einmal. Stichwort: 3. binomische Formel.
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oh du hast mit [mm] x-y\wurzel{2} [/mm] erweitert... das hatte ich übersehen.
dann sieht es glaube ich so aus:
[mm] \bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2}-(y\wurzel{2})^{2}}= \bruch{1}{x-y\wurzel{2}}
[/mm]
hmm aber was sagt mir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> dann sieht es glaube ich so aus:
>
> [mm]\bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2}-(y\wurzel{2})^{2}}= \bruch{1}{x-y\wurzel{2}}[/mm]
Der linke Ausdruck stimmt, der rechte Ausdruck nicht.
> hmm aber was sagt mir das?
Wir haben
[mm] $a^{-1}=\ldots=\bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2}-(y\wurzel{2})^{2}}=\bruch{x-y\wurzel{2}}{x^{2}-2y^2}=\underbrace{\bruch{x}{x^{2}-2y^2}}_{\in\IQ}+\underbrace{\bruch{-y}{x^{2}-2y^2}}_{\in\IQ}\wurzel2\in [/mm] K$.
Der Sinn der Erweiterung mit [mm] $x-y\wurzel2$ [/mm] war, durch Anwendung der dritten binomischen Formel die Wurzel aus dem Nenner zu kriegen.
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