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| Aufgabe | | Sind [mm] f:X\rightarrow [/mm] Y un [mm] g:Y\rightarrow [/mm] X Abbildungen und ist ferner [mm] fg=Id_y [/mm] un [mm] gf=Id_x, [/mm] so ist f bijektiv un [mm] f^{-1}=g.Was [/mm] zu beweisen ist! |
Hallo!
Ich bin absoluter Neulig auf diesen Gebiet, deshalb kann es sein, das meine Ansätze völlig daneben sind:
Beiweis der Injektivität von f:
Seien [mm] x,x'\in [/mm] X und f(x)=f(x').Dann ist f injektiv falls x= x'.Ich habe versucht x=g(y) und x'=g(y') zu setzen.
f(g(y))=y
f(g(y'))=y'
aufgrund [mm] fg=Id_y.
[/mm]
Es entstünde also ein Wiederspruch zu f(x)=f(x') wenn [mm] y'\not=y. [/mm] Weil also y=y' gelten muss, muss auch g(y)=g(y') und somit x'=x gelten.
Beweis der Surjektivität von f:
Sei [mm] y\in [/mm] Y.Dann muss für jedes [mm] x\in [/mm] X, y=f(x) sein.Setzen wier wieder x=g(y).Also ist Aufgrund von [mm] fg=Id_y [/mm] wieder:
f(g(y))=y
Ist somit f(x)=y nachgewiesen?
Wenn f nun surjektiv und injektiv ist, so ist f auch bijektiv.Es existiert also eine Abbildung:
[mm] f^{-1}=g [/mm] : [mm] Y\rightarrow [/mm] X
Könnte mir bitte jemand sagen, ob das so stimmt?Mir fehlen leider die Korrekturmöglichkeiten...
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 16.02.2009 | | Autor: | statler |
> Sind f: X [mm] $\rightarrow$ [/mm] Y und g: Y [mm] $\rightarrow$ [/mm] X Abbildungen und
> ist ferner [mm]fg=Id_Y[/mm] und [mm]gf=Id_X,[/mm] so ist f bijektiv und
> [mm] $f^{-1} [/mm] = g$. Was zu beweisen ist!
Hallo Angelika!
> Beiweis der Injektivität von f:
>
> Seien [mm]x,x'\in[/mm] X und f(x)=f(x').Dann ist f injektiv falls
> x= x'.Ich habe versucht x=g(y) und x'=g(y') zu setzen.
Dazu müßtest du aber wissen, daß g surjektiv ist, sonst gibt es diese Üpsilons evtl. nicht. Aber was ist mit g(f(x)) und g(f(x'))?
> f(g(y))=y
>
> f(g(y'))=y'
>
> aufgrund [mm]fg=Id_y.[/mm]
>
> Es entstünde also ein Wiederspruch zu f(x)=f(x') wenn
> [mm]y'\not=y.[/mm] Weil also y=y' gelten muss, muss auch g(y)=g(y')
> und somit x'=x gelten.
>
> Beweis der Surjektivität von f:
>
> Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann muss für jedes [mm]x\in[/mm] X, y=f(x) sein.
Nee, soo nich! Dann muß es ein solches x geben.
> Setzen
> wier wieder x=g(y).Also ist Aufgrund von [mm]fg=Id_y[/mm] wieder:
>
> f(g(y))=y
>
> Ist somit f(x)=y nachgewiesen?
Das steht doch da, g(y) tut es.
> Wenn f nun surjektiv und injektiv ist, so ist f auch
> bijektiv.
> Es existiert also eine Abbildung:
[mm] $f^{-1}$, [/mm] die eindeutig bestimmt ist
> [mm]f^{-1}=g[/mm] : [mm]Y\rightarrow[/mm] X
und die deswegen gleich g sein muß!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Vielen Dank Statler!
> > Sind f: X [mm]\rightarrow[/mm] Y und g: Y [mm]\rightarrow[/mm] X Abbildungen
> und
> > ist ferner [mm]fg=Id_Y[/mm] und [mm]gf=Id_X,[/mm] so ist f bijektiv und
> > [mm]f^{-1} = g[/mm]. Was zu beweisen ist!
>
> Hallo Angelika!
>
> > Beiweis der Injektivität von f:
> >
> > Seien [mm]x,x'\in[/mm] X und f(x)=f(x').Dann ist f injektiv falls
> > x= x'.Ich habe versucht x=g(y) und x'=g(y') zu setzen.
>
> Dazu müßtest du aber wissen, daß g surjektiv ist, sonst
> gibt es diese Üpsilons evtl. nicht. Aber was ist mit
> g(f(x)) und g(f(x'))?
Es muss also auch g(f(x))=g(f(x')) sein.Und aufgrund [mm] fg=Id_Y [/mm] auch g(f(x)) =x und g(f(x'))=x'.Deshalb führt es zu einem Wiederspruch wenn [mm] x'\not=x.
[/mm]
>
> > f(g(y))=y
> >
> > f(g(y'))=y'
> >
> > aufgrund [mm]fg=Id_y.[/mm]
> >
> > Es entstünde also ein Wiederspruch zu f(x)=f(x') wenn
> > [mm]y'\not=y.[/mm] Weil also y=y' gelten muss, muss auch g(y)=g(y')
> > und somit x'=x gelten.
> >
> > Beweis der Surjektivität von f:
> >
> > Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann muss für jedes [mm]x\in[/mm] X, y=f(x) sein.
>
> Nee, soo nich! Dann muß es ein solches x geben.
Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] X sodass y=f(x).Richtig?
>
> > Setzen
> > wier wieder x=g(y).Also ist Aufgrund von [mm]fg=Id_y[/mm] wieder:
> >
> > f(g(y))=y
> >
> > Ist somit f(x)=y nachgewiesen?
>
> Das steht doch da, g(y) tut es.
>
> > Wenn f nun surjektiv und injektiv ist, so ist f auch
> > bijektiv.
>
> > Es existiert also eine Abbildung:
>
> [mm]f^{-1}[/mm], die eindeutig bestimmt ist
>
> > [mm]f^{-1}=g[/mm] : [mm]Y\rightarrow[/mm] X
>
> und die deswegen gleich g sein muß!
>
> Gruß aus HH-Harburg
Gruß
Angelika
> Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 16.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank Statler!
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> > > Sind f: X [mm]\rightarrow[/mm] Y und g: Y [mm]\rightarrow[/mm] X Abbildungen
> > und
> > > ist ferner [mm]fg=Id_Y[/mm] und [mm]gf=Id_X,[/mm] so ist f bijektiv und
> > > [mm]f^{-1} = g[/mm]. Was zu beweisen ist!
> >
> > Hallo Angelika!
> >
> > > Beiweis der Injektivität von f:
> > >
> > > Seien [mm]x,x'\in[/mm] X und f(x)=f(x').Dann ist f injektiv falls
> > > x= x'.Ich habe versucht x=g(y) und x'=g(y') zu setzen.
> >
> > Dazu müßtest du aber wissen, daß g surjektiv ist, sonst
> > gibt es diese Üpsilons evtl. nicht. Aber was ist mit
> > g(f(x)) und g(f(x'))?
>
> Es muss also auch g(f(x))=g(f(x')) sein.Und aufgrund
> [mm]fg=Id_Y[/mm] auch g(f(x)) =x und g(f(x'))=x'.Deshalb führt es zu
> einem Wiederspruch wenn [mm]x'\not=x.[/mm]
O.K.
> >
> > > f(g(y))=y
> > >
> > > f(g(y'))=y'
> > >
> > > aufgrund [mm]fg=Id_y.[/mm]
> > >
> > > Es entstünde also ein Wiederspruch zu f(x)=f(x') wenn
> > > [mm]y'\not=y.[/mm] Weil also y=y' gelten muss, muss auch g(y)=g(y')
> > > und somit x'=x gelten.
> > >
> > > Beweis der Surjektivität von f:
> > >
> > > Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann muss für jedes [mm]x\in[/mm] X, y=f(x) sein.
> >
> > Nee, soo nich! Dann muß es ein solches x geben.
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> Sei [mm]y\in[/mm] Y.Dann gibt es ein [mm]x\in[/mm] X sodass y=f(x).Richtig?
Nutze doch $ [mm] fg=Id_Y [/mm] $ aus !!
Für y [mm] \in [/mm] Y gilt dann: f(g(y)) = y. Setze x = g(y)
FRED
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> > > Setzen
> > > wier wieder x=g(y).Also ist Aufgrund von [mm]fg=Id_y[/mm] wieder:
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> > > f(g(y))=y
> > >
> > > Ist somit f(x)=y nachgewiesen?
> >
> > Das steht doch da, g(y) tut es.
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> > > Wenn f nun surjektiv und injektiv ist, so ist f auch
> > > bijektiv.
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> > > Es existiert also eine Abbildung:
> >
> > [mm]f^{-1}[/mm], die eindeutig bestimmt ist
> >
> > > [mm]f^{-1}=g[/mm] : [mm]Y\rightarrow[/mm] X
> >
> > und die deswegen gleich g sein muß!
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> > Gruß aus HH-Harburg
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> Gruß
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> Angelika
> > Dieter
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