Beweis Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 12.03.2006 | | Autor: | Sunday |
| Aufgabe | Es seien a und b positive reelle Zahlen. Zeigen Sie das gilt:
[mm] (a+b)^{2} \le 2(a^{2}+b^{2}) [/mm] |
[mm] (a+b)^{2} [/mm] auflösen => [mm] a^{2}+2 \*ab+b^{2} [/mm] ergibt:
[mm] a^{2}+2 \*ab+b^{2} \le 2(a^{2}+b^{2})
[/mm]
nach weiterem Vereinfachen komme ich auf:
2 [mm] \* [/mm] ab [mm] \le a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] stimmt das?
Und was nun? Setzt man nun für a und b nen Wert ein?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 12.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Alles stimt soweit.
Du hast ja [mm] 2ab\le a^{2}+b^{2} [/mm]
[mm] \gdw 0\le a^{2}-2ab+b^{2}.
[/mm]
Bringt dich das weiter?
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 12.03.2006 | | Autor: | Sunday |
naja...
0 [mm] \le a^{2}-2 \* ab+b^{2} [/mm] wäre ja
0 [mm] \le [/mm] (a - [mm] b)^{2}
[/mm]
wäre es also gemäß der definition, dass [mm] a^{2} \ge [/mm] 0 gilt der beweis erbracht?
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Hallo!
> 0 [mm]\le a^{2}-2 \* ab+b^{2}[/mm] wäre ja
>
> 0 [mm]\le[/mm] (a - [mm]b)^{2}[/mm]
>
> wäre es also gemäß der definition, dass [mm]a^{2} \ge[/mm] 0 gilt
> der beweis erbracht?
Ich denke, du meinst das Richtige. Du hast ja nur Äquivalenzumformungen gemacht, und erhältst jetzt eine wahre Aussage, da das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv ist (also auch das Quadrat von (a-b)). Demnach gilt die "Ausgangsaussage" dann auch. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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