Beweis Ungleichung einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Di 05.06.2012 | | Autor: | SaLu |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] sei definiert durch [mm] x_{n}:= \wurzel[n]{n} [/mm] - 1.
Zeigen Sie [mm] \vektor{n \\ 2}x^{2}_{n} [/mm] < n .
Hinweis: Binomischer Lehrsatz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Helfer,
ich danke schon einmal im Voraus für eure Hilfe.
Um diesen Beweis zu führen, hab ich zu Beginn den Binomischen Lehrsatz wiederholt:
[mm] (x+y)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}*\vektor{n \\ k}x^{n-k}*y^{k}
[/mm]
Nun stellt sich für mich eine Frage zu dieser Ungleichung. Kann ich davon ausgehen, dass das [mm] x_{n}^{2} [/mm] bedeutet, das n [mm] \ge [/mm] 2 sein muss?
Wenn k=2 ist, und [mm] x^{n-k}=x^{2} [/mm] (siehe Ungleichung), muss dann n=4 sein??
Aber dann könnte ich ja keinen allgemeinen Beweis (z.B. durch Induktion) mehr führen. Sondern würde es ja nur auf n=4 beziehen.
Verstehe somit die Ungleichung in Kombination mit der Binomischen Lehrsatz nicht ganz!
Falls ich mich zu kompliziert oder unverständlich ausgedrückt habe, bitte melden :)
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Di 05.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Folge [mm](x_{n})[/mm] sei definiert durch [mm]x_{n}:= \wurzel[n]{n}[/mm]
> - 1.
> Zeigen Sie [mm]\vektor{n \\ 2}x^{2}_{n}[/mm] < n .
> Hinweis: Binomischer Lehrsatz
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Helfer,
>
> ich danke schon einmal im Voraus für eure Hilfe.
>
> Um diesen Beweis zu führen, hab ich zu Beginn den
> Binomischen Lehrsatz wiederholt:
>
> [mm](x+y)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}*\vektor{n \\ k}x^{n-k}*y^{k}[/mm]
>
> Nun stellt sich für mich eine Frage zu dieser Ungleichung.
> Kann ich davon ausgehen, dass das [mm]x_{n}^{2}[/mm] bedeutet, das n
> [mm]\ge[/mm] 2 sein muss?
Ich verstehe nicht ganz, was Du meinst. Die Ungleichung ist zu zeigen für n [mm] \ge [/mm] 2.
>
> Wenn k=2 ist, und [mm]x^{n-k}=x^{2}[/mm] (siehe Ungleichung), muss
> dann n=4 sein??
>
> Aber dann könnte ich ja keinen allgemeinen Beweis (z.B.
> durch Induktion) mehr führen. Sondern würde es ja nur auf
> n=4 beziehen.
>
> Verstehe somit die Ungleichung in Kombination mit der
> Binomischen Lehrsatz nicht ganz!
>
> Falls ich mich zu kompliziert oder unverständlich
> ausgedrückt habe, bitte melden :)
>
> Vielen Dank
Es ist [mm] \wurzel[n]{n}=x_n+1, [/mm] also [mm] n=(x_n+1)^n= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x_n^k.
[/mm]
Wie folgt nun die Ungleichung ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Di 05.06.2012 | | Autor: | SaLu |
danke, jetzt hab ich die Aufgabenstellung erst einmal verstanden. Der Tipp mit der Umformung der Folge hat mir gefehlt.
Kann ich nun nicht "einfach" durch Induktionsbeweis zeigen, dass es so ist. Für n=2, und dann n => n+1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Di 05.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke, jetzt hab ich die Aufgabenstellung erst einmal
> verstanden. Der Tipp mit der Umformung der Folge hat mir
> gefehlt.
>
> Kann ich nun nicht "einfach" durch Induktionsbeweis zeigen,
> dass es so ist. Für n=2, und dann n => n+1 ?
nein. Das geht ohne Induktion !
Tipp: ist n [mm] \ge [/mm] 2 und sind [mm] a_0,a_1, ...,a_n \ge [/mm] 0, so ist [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k \ge a_2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Di 05.06.2012 | | Autor: | SaLu |
ok,
ist [mm] n\ge2 [/mm] und sind [mm] x_{0},x_{1},x_{2}, [/mm] ..., [mm] x_{n}\ge [/mm] 0, so ist
n = 1 + [mm] x_{n}+ \vektor{n \\ 2}x_{n}^{2}+\vektor{n \\ 3}x_{n}^{3}+....+ \vektor{n \\ n}x_{n}^{n} [/mm]
da alle Summanden positiv sind, ist
n > [mm] \vektor{n \\ 2}x_{n}^{2} [/mm] , was zu zeigen war.
ist das korreket und ausreichend für den Beweis??
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Hallo SaLu,
> ok,
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> ist [mm]n\ge2[/mm] und sind [mm]x_{0},x_{1},x_{2},[/mm] ..., [mm]x_{n}\ge[/mm] 0, so
> ist
>
> n = 1 + [mm]x_{n}+ \vektor{n \\
2}x_{n}^{2}+\vektor{n \\
3}x_{n}^{3}+....+ \vektor{n \\
n}x_{n}^{n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> da alle Summanden positiv sind, ist
>
> n > [mm]\vektor{n \\
2}x_{n}^{2}[/mm] , was zu zeigen war.
>
> ist das korreket und ausreichend für den Beweis??
Jo!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Di 05.06.2012 | | Autor: | SaLu |
Der absoulte wahnsinn...
vielen Dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Di 05.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Ich hätte eine Frage, die sich obiger anschließt:
Wie kann man aus dem, was oben bewiesen wurde, folgern, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1? |
Ich habe nicht wirklich eine Idee und wäre über Hilfe sehr dankbar.
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Hallo SaLu,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich hätte eine Frage, die sich obiger anschließt:
> Wie kann man aus dem, was oben bewiesen wurde, folgern,
> dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}[/mm] = 1?
> Ich habe nicht wirklich eine Idee und wäre über Hilfe
> sehr dankbar.
Aus $ [mm] \vektor{n \\ 2}x^{2}_{n} [/mm] < n$ folgt
[mm] $0\le x^{2}_{n} [/mm] < n [mm] \frac{2}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1}$.
[/mm]
Insbesondere ist [mm] x_n^2 [/mm] Nullfolge und damit dann auch [mm] (x_n).
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Di 05.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Könntest du vielleicht bitte erkläre, wie du auf [mm] x^{2}_{n} [/mm] < n [mm] \frac{2}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1} [/mm] kommst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Di 05.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Könntest du vielleicht bitte erkläre, wie du auf
> [mm]x^{2}_{n}[/mm] < n [mm]\frac{2}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1}[/mm] kommst?
was ist Dir daran unklar? Du selbst hattest zu beweisen, dass
[mm] $$(\*)\;\;\;x_n^2 [/mm] < [mm] \frac{n}{{n \choose 2}}$$
[/mm]
gilt. (Da habe ich nur eine minimale Äquivalenzumformung durchgeführt.)
Nun ist ${n [mm] \choose 2}=\frac{n*(n-1)}{2}\,,$ [/mm] und wenn Du das einsetzt, bekommst Du das, was Schachuzipus kamaleonti geschrieben hat, raus!
Gruß,
Marcel
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