Beweis Untervektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Di 15.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo an alle Liebhaber der Mathematik!
ich brauch mal ein paar anstöße zu folgender aufgabe:
beweisen bzw. widerlegen sie, dass die folgenden mengen untervektorräume der angegebenen vektorräume sind.
hier nur ein beispiel:
[mm] \{(a,b,c) \in \IR^{3} |a=b=2c \}\le \IR^{3}
[/mm]
ich weiß, dass ich dabei zeigen muss, dass
1. U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. u,v [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \in [/mm] U
3. u [mm] \in [/mm] U, [mm] \lambda \in [/mm] K [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] *u [mm] \in [/mm] U
aber wie wende ich diese definition nun auf das konkrete beispiel an?
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 15.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hallo an alle Liebhaber der Mathematik!
 Bist du denn keine?!?
> aber wie wende ich diese definition nun auf das konkrete
> beispiel an?
In dem du sie Schritt für Schritt nachprüfst? also du zeigst 1. Bedingung für die Menge erfüllt/nicht erfüllt. etc pp Jetzt mach mal.(Die Menge ist nicht leer - warum? Welches Element liegt drin?)
SEcki
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:23 Di 15.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also ich denke mal der nullvektor ist auf jeden fall in dem untervektorraum, deshalb ist U nach erster bedingung keine leere menge.
aber ich weiß jetzt nicht, wie ich u+v element U und u* [mm] \lambda [/mm] elemt U zeigen soll, weil ich nicht weiß, wie ich das a=b=2c da mit einbauen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Di 22.11.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Franzie!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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Hallo Franzie!
Also ich hab das immer so gemacht:
1. Prüfen, ob 0 [mm] \in [/mm] U
Wenn der Nullvektor in der Menge U liegt, dann muss er ja die Bedingung a=b=2c erfüllen. Also setzt du ihn einfach mal für [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] ein, und prüfst die Bedingung:
Setzte [mm] \vektor{a \\ b \\ c} =\vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow [/mm] a=0, b=0, c=0
Einsetzen in Bedingung:
0 = 0 = 2 * 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = 0 = 0 (wahre Aussage)
[mm] \Rightarrow [/mm] Bedingung erfüllt, also liegt 0 in U.
2. [mm] \vec{r}, \vcec{s} \in [/mm] U. Prüfen. ob [mm] \vec{r} [/mm] + [mm] \vec{s} \in [/mm] U
So, als erstes musst du zwei Elemente der Menge U wählen. Nennen wir die beiden Elemente mal [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3}} [/mm] und [mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vektor{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}}. [/mm] Nun muss ja für diese beiden Elemente aus U auch die Bedingung gelten:
(Achtung: Komponentennamen in der Bedingung anpassen. Das a = b = 2c in der Bedingung heißt ja quasi: 1. Komponente des Vektors = 2. Komponente des Vektors = 2 * 3. Komponente des Vektors):
Also haben wir [mm] \vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3}} [/mm] mit Bedingung [mm] r_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] = 2 * [mm] r_{3}
[/mm]
und [mm] \vektor{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}} [/mm] mit Bedingung [mm] s_{1} [/mm] = [mm] s_{2} [/mm] = 2 * [mm] s_{3}
[/mm]
Man soll ja nun prüfen, ob der Summe auch in U liegt. Die Summe wäre ja [mm] \vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3}} [/mm] + [mm] \vektor{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{r_{1} + s_{1} \\ r_{2} + s_{2} \\ r_{3} + s_{3}}.
[/mm]
Angenommen, die Summe liegt auch in U, dann muss für sie ja auch die Bedingung gelten. In dem Fall wäre es dann
[mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] + [mm] s_{2} [/mm] = 2 * [mm] (r_{3} [/mm] + [mm] s_{3}) \gdw r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] + [mm] s_{2} [/mm] = [mm] 2r_{3} [/mm] + [mm] 2s_{3}.
[/mm]
Na dann prüfen wir das mal:
Behauptung: [mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] + [mm] s_{2} [/mm] = [mm] 2r_{3} [/mm] + [mm] 2s_{3}
[/mm]
Oben haben wir ja mit der Bedingung für [mm] \vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3}} [/mm] festgelegt, das auf jeden Fall gilt: [mm] r_{1} [/mm] = [mm] r_{2}.
[/mm]
Das setzen wir jetzt einfach mal in die Behauptung ein:
[mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{2} [/mm] = [mm] 2r_{3} [/mm] + [mm] 2s_{3}
[/mm]
Das selbe machen wir jetzt für (laut Bedingung) [mm] s_{1} [/mm] = [mm] s_{2}:
[/mm]
[mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] 2r_{3} [/mm] + [mm] 2s_{3}
[/mm]
Somit sind der linke Teil und der mittlere Teil schon mal identisch. Kümmern wir uns um den Rest. Laut Bedingung ist [mm] r_{1} [/mm] = 2 * [mm] r_{3}. [/mm] Einsetzen in Behauptung:
[mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{1} [/mm] + [mm] 2s_{3}
[/mm]
Und das selbe nochmal für [mm] s_{1} [/mm] = 2 * [mm] s_{3}
[/mm]
[mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] = [mm] r_{1} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] (wahre Aussage)
Also gilt die Behauptung als Bedingung für die Summe und somit liegt auch
3. [mm] \vec{r} \in [/mm] U, [mm] \lambda \in [/mm] K. Prüfen. ob [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{r} \in [/mm] U
Das kannst du jetzt analog zu 2. machen. Als erstes wieder ein Element aus der Menge U wählen: [mm] \vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3}} [/mm] mit Bedingung [mm] r_{1} [/mm] = [mm] r_{2} [/mm] = 2 * [mm] r_{3}. [/mm]
Jetzt prüfen wir, ob das Produkt [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda r_{1} \\ \lambda r_{2} \\ \lambda r_{3}} [/mm] auch in U liegt.
Wenn das in der Menge liegen soll, dann muss ja dafür dann auch die Bedingung gelten, die dann lautet:
Beh.: [mm] \lambda r_{1} [/mm] = [mm] \lambda r_{2} [/mm] = 2 * [mm] \lambda r_{3}
[/mm]
Und jetzt wieder prüfen:
Es ist ja [mm] r_{1} [/mm] = [mm] r_{2}.
[/mm]
Also [mm] \lambda r_{1} [/mm] = [mm] \lambda r_{1} [/mm] = 2 * [mm] \lambda r_{3}
[/mm]
Und es ist [mm] r_{1} [/mm] = 2 * [mm] r_{3}
[/mm]
Also Also [mm] \lambda r_{1} [/mm] = [mm] \lambda r_{1} [/mm] = [mm] \lambda r_{1} [/mm] (wahre Aussage)
Somit liegt auch das Produkt von Vektor und Skalar in U.
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist ein UVR (UnterVektorRaum)
So, ich hoffe mal, dass ist jetzt auch alles so richtig!
LG, Nadine
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