Beweis Vektorunterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Sa 30.07.2011 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | Betrachte die Funktion f: [0, 1] [mm] \to \IR, [/mm] die auf dem Intervall [0, 1] stückweise polynomiell ist:
(1)
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
p_1(x), & x \in [0, 1/3), \\
p_2(x), & x \in [1/3, 2/3), \\
p_3(x), & x \in [2/3, 1]
\end{matrix}\right. [/mm]
mit [mm] p_1, p_2, p_3 \in \mathcal{P}_3 [/mm]
Zusätzlich sollen die Polynome [mm] p_1, p_2, p_3 [/mm] und ihre Ableitungen [mm] p_1', p_2', p_3' [/mm] die folgenden Bedingungen erfüllen:
(2)
[mm] \begin{matrix}
p_1(1/3)=p_2(1/3) & p_2(2/3)=p_3(2/3) & p_3(1)=p_1(0) \\
p_1'(1/3)=p_2'(1/3) & p_2'(2/3)=p_3'(2/3) & p_3'(1)=p_1'(0)
\end{matrix} [/mm]
Es bezeichnet V die Menge aller solcher, mittels (1) und (2) definierten Funktionen f.
i) Begründen Sie warum V ein Unterraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf [0,1] ist.
ii) Geben Sie die Dimension von V an. |
Guten Abend liebe Mathefreunde,
mir ist durchaus bewusst, dass man eigentlich einen eigenen Lösungsansatz mitbringen soll, aber um ehrlich zu sein weiß ich bei i) nicht wirklich wie ich anfangen soll. Diese Aufgabe habe ich einer alten Klausur entnommen und wir haben in den Hausaufgaben solche Aufgaben gelöst in dem wir gezeigt haben, dass die Def. für Unterräume gilt, d.h. [mm] x+y \in V, \alpha*x \in V \ (\forall x,y \in V \ , \forall \alpha \in \IR \mbox{ oder } \IC ) [/mm] Mich verwirrt, dass f(x) hier zusammengesetzt ist. Muss ich da eine Fallunterscheidung machen?
Aufgefallen ist mir, dass f(x) und ihre Ableitung stetig ist auf [0, 1].
Bin für jeden Hinweis dankbar.
Zu ii) da V über dem Raum [mm] \mathcal{P}_3 [/mm] definiert ist, gehe ich mal von dim(V) = 4 aus. Ist das richtig?
Vielen Dank im Voraus
Kato
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 So 31.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig gesehen hast du schon, dass deine f eine teilmenge der stetig diff, fkt ist.
warum weist du nicht einfach nach dass f(x)+g(x) wenn sie so aufgebaut sind wie gegeben wieder eine solche fkt istm wenn f durch die Pol pi gegeben ist und g für die pol qi dann ist doch klar, wenn etwa p1(1/3(=p2(1/3( und q1(1/3)=q2(1/3) dass dann auch gilt p1(1/3+q1(1/3(=p2(1/3)+q2(1/3) entsprechend die anderen Nahtstellen, dass die summe wieder in P3 liegr ist eh klar.
da das ja nicht alle Polynome aus [mm] P^3 [/mm] das erfüllen ist das mit der Dimension nicht so klar.
Gruss leduart
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