Beweis: Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Do 09.04.2009 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n} k)^2 [/mm] |
Hallo, ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht.
1) Wie interprteiere ich [mm] (\summe_{k=1}^{n} k)^2?
[/mm]
ist das die Folge für n = 3: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ?
2)
IA: [mm] 1^3 [/mm] = [mm] 1^2 \Rightarrow [/mm] stimmt
[mm] 2^3 \not= 4^2 \Rightarrow [/mm] stimmt nicht ?!
Viele Grüße macio
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> Beweisen Sie:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] = [mm](\summe_{k=1}^{n} k)^2[/mm]
> Hallo, ich
> komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht.
> 1) Wie interprteiere ich [mm](\summe_{k=1}^{n} k)^2?[/mm]
Hallo,
es ist [mm] (\summe_{k=1}^{n} k)^2=(1+2+3+...+n)^2,
[/mm]
und [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3.
[/mm]
> ist das
> die Folge für n = 3: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ?
>
> 2)
> IA: [mm]1^3[/mm] = [mm]1^2 \Rightarrow[/mm] stimmt
> [mm]2^3 \not= 4^2 \Rightarrow[/mm] stimmt nicht ?!
Für n=2 mußt Du gucken, ob [mm] (\summe_{k=1}^{2} k)^2=(1+2)^2 [/mm] dasselbe ist wie [mm] \summe_{k=1}^{2} k^3=1^3+2^3,
[/mm]
Für n=3 mußt Du gucken, ob [mm] (\summe_{k=1}^{3} k)^2=(1+2+3)^2 [/mm] dasselbe ist wie [mm] \summe_{k=1}^{3} k^3=1^3+2^3+3^3.
[/mm]
Dies allgemein für beliebiges n zu zeigen, darum geht es hier, und wie Du in der Überschrift schreibst, macht man das mit vollständiger  Induktion.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 09.04.2009 | | Autor: | macio |
Vielen Dank für die zügige Antwort!
IA: ist für n = 2 sowie für n = 3 erfüllt
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^3 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 +(n+1)^3 [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n} k)^2 [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm] =...
hmm, wie rechne ich dann wieter?
Viele Grüße macio
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Hallo macio,
> Vielen Dank für die zügige Antwort!
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> IA: ist für n = 2 sowie für n = 3 erfüllt
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^3[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3 +(n+1)^3[/mm] =
> [mm](\summe_{k=1}^{n} k)^2[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm] =...
>
> hmm, wie rechne ich dann wieter?
Für [mm]\summe_{k=1}^{n} k[/mm] kennst Du sicherlich eine Formel.
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> Viele Grüße macio
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 09.04.2009 | | Autor: | macio |
Vielen Dank für den Tipp!
... [mm] =(\bruch{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3=\bruch{n^4+n^2}{4} +n^3+3n^2+3n+1=...
[/mm]
so weit so gut, nun wis ich aber nicht mehr weiter.
Viele Grüße macio
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> Vielen Dank für den Tipp!
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> ... [mm][mm] =(\bruch{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3=
[/mm]
Hallo,
[mm] ...=(\bruch{n(n+1)}{2})^2+\bruch{4(n+1)^3}{4}= [/mm]
Nun klammere mal [mm] (\bruch {(n+1)}{2})^2 [/mm] aus.
Gruß v. Angela
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Hallo!
> Vielen Dank für den Tipp!
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> ... [mm]=(\bruch{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3\red{\not=}\bruch{n^4+n^2}{4} +n^3+3n^2+3n+1=...[/mm]
Du hast hier im ersten Summanden, bei [mm] (n^2+n)^2 [/mm] die binomische Formel nicht beachtet!
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> so weit so gut, nun wis ich aber nicht mehr weiter.
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> Viele Grüße macio
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Do 09.04.2009 | | Autor: | macio |
ja stimmt!
[mm] ..=\bruch{(n^2+n)^2}{4}+\bruch{4(n+1)^3}{4}=\bruch{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4}=\bruch{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}=...
[/mm]
kann man diesen Term noch irgendwie zusammenfassen?
Viele Grüße macio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Do 09.04.2009 | | Autor: | abakus |
> ja stimmt!
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> [mm]..=\bruch{(n^2+n)^2}{4}+\bruch{4(n+1)^3}{4}=\bruch{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4}=\bruch{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}=...[/mm]
>
> kann man diesen Term noch irgendwie zusammenfassen?
Sicher. Leider hast du durch das unnötige Ausmultiplizieren dafür gesorgt, dass es jetzt schwieriger wird. In der Form
[mm] \bruch{(n^2+n)^2}{4}+\bruch{4(n+1)^3}{4}
[/mm]
war das noch viel leichter:
[mm] \bruch{(n^2+n)^2}{4}+\bruch{4(n+1)^3}{4}=\bruch{(n(n+1))^2}{4}+\bruch{4(n+1)^3}{4}=(n+1)^2(\bruch{n^2}{4}+\bruch{4(n+1)^1}{4})
[/mm]
Gruß Abakus
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> Viele Grüße macio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Do 09.04.2009 | | Autor: | macio |
[mm] ...=(n+1)^2*(\bruch{n^2+4n+4}{4})=(n+1)^2*\bruch{(n+2)^2}{4}=((n+1)*\bruch{(n+2)}{2})^2 [/mm]
Somit ist der Beweis erbracht, vielen Dank für eure Hilfe [mm] \Box
[/mm]
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> [mm]...=(n+1)^2*(\bruch{n^2+4n+4}{4})=(n+1)^2*\bruch{(n+2)^2}{4}=((n+1)*\bruch{(n+2)}{2})^2[/mm]
[mm] =\left( \summe_{k=1}^{n+1} k \right)^2 [/mm]
das würde ich noch dahin schreiben. Dann passt's!
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> Somit ist der Beweis erbracht, vielen Dank für eure Hilfe
> [mm]\Box[/mm]
Gruß Patrick
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