Beweis/Widerlegen Summe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 So 02.12.2012 | | Autor: | Yogi1988 |
| Aufgabe | Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
Sei n [mm] \in [/mm] N*. Dann gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/i^2 [/mm] <= 2-1/n |
Ahoi,
Ich hab versucht das mal über Induktion zu beweisen aber stoße da auf Probleme.
Induktionshypothese:
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/i^2 [/mm] <= 2-1/n
für n [mm] \in [/mm] N* (also natürliche Zahlen ohne null)
Induktionsanfang:
n=1
dann ergibt sich:
1 <= 1 und das ist wahr.
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} 1/i^2 [/mm] <= 2-1/n+1
Da müsste ich den linken Teilterm jetzt durch einen Ausdruck ohne Summe ersetzen um das auswerten zu können.
Geht das irgendwie oder bin ich da auf der falschen Fährte mit dem Induktionsansatz?
Über Hilfe würde ich mich freuen
Gruß
Yogi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 02.12.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Yogi,
> Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
> Sei n [mm]\in[/mm] N*. Dann gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^2[/mm] <= 2-1/n
> Ahoi,
> Ich hab versucht das mal über Induktion zu beweisen aber
> stoße da auf Probleme.
>
> Induktionshypothese:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^2[/mm] <= 2-1/n
> für n [mm]\in[/mm] N* (also natürliche Zahlen ohne null)
>
>
> Induktionsanfang:
> n=1
> dann ergibt sich:
> 1 <= 1 und das ist wahr.
>
> Induktionsschritt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} 1/i^2[/mm] <= 2-1/n+1
>
> Da müsste ich den linken Teilterm jetzt durch einen
> Ausdruck ohne Summe ersetzen um das auswerten zu können.
> Geht das irgendwie oder bin ich da auf der falschen
> Fährte mit dem Induktionsansatz?
es ist doch [mm]\sum_{i=1}^{n+1}\frac 1 {i^2}=\sum_{i=1}^n \frac 1 {i^2} +\frac1 {(n+1)^2}[/mm]. Mit der Induktionsvoraussetzung kannst das mit [mm]\le 2-\frac 1 n +\frac 1{(n+1)^2}[/mm] abschätzen. Forme jetzt ein bisschen um, bzw. begründe, dass das [mm]\le 2-\frac{1}{n+1}[/mm] ist.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 02.12.2012 | | Autor: | Yogi1988 |
Müsste es nicht
die summe und dazu [mm] 1/(n+1)^2 [/mm] ergeben?
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Hallo,
> Müsste es nicht
> die summe und dazu [mm]1/(n+1)^2[/mm] ergeben?
Ja, das muss es!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 02.12.2012 | | Autor: | Fulla |
Du hast recht, ich habe es oben ausgebessert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 02.12.2012 | | Autor: | Yogi1988 |
Die Abschätzung auf <= 2-1/n + [mm] 1/(n+1)^2 [/mm] verstehe ich nicht.
Müsste es nicht lauten:
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/i^2 +1/(n+1)^2 [/mm] <= 2- 1/(n+1) ?
warum [mm] (n+1)^2 [/mm] auf der rechten Seite des Terms? Die Summe bezieht sich doch nur auf die linke Seite
Davon ausgehen würde ich die Induktionsvorraussetzung einsetzen, so dass
[mm] 1/i^2 [/mm] = 1 ergibt und folgender Term übrig ist:
1+ [mm] 1/(n+1)^2 [/mm] <= 2- 1/(n+1)
Den Term aufzulösen ergibt leider:
2 <= 2 -(n+1) was falsch ist.
Wie ist das mit dem Nutzen der IV gemeint?
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Hallo Yogi,
> Die Abschätzung auf <= 2-1/n + [mm]1/(n+1)^2[/mm] verstehe ich
> nicht.
Da ist im Induktionsschritt einfach links und rechts [mm] \tfrac{1}{(n+1)^2} [/mm] addiert worden, sonst nichts.
> Müsste es nicht lauten:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^2 +1/(n+1)^2[/mm] <= 2- 1/(n+1) ?
Das ist ja das Ziel des Induktionsschritts und noch zu zeigen.
> warum [mm](n+1)^2[/mm] auf der rechten Seite des Terms? Die Summe
> bezieht sich doch nur auf die linke Seite
Siehe oben (auf beiden Seiten addiert).
> Davon ausgehen würde ich die Induktionsvorraussetzung
> einsetzen, so dass
> [mm]1/i^2[/mm] = 1 ergibt
Wie soll das denn gehen?
Die Induktionsvoraussetzung muss für ein beliebiges n gelten, nicht nur für n=1.
> und folgender Term übrig ist:
> 1+ [mm]1/(n+1)^2[/mm] <= 2- 1/(n+1)
Unsinn. Was rechnest Du da?
> Den Term aufzulösen ergibt leider:
> 2 <= 2 -(n+1) was falsch ist.
Wie diese Auflösung geschehen ist, möchte ich womöglich auch lieber nicht wissen. Da tun sich Abgründe auf.
> Wie ist das mit dem Nutzen der IV gemeint?
So wie der Einstieg hier oben. Wenn Du auf beiden Seiten der Induktionsvoraussetzung [mm] \tfrac{1}{(n+1)^2} [/mm] addierst, ist der Induktionsschritt dann gelungen, wenn Du das folgende zeigen kannst:
[mm] 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^2}\le 2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Überleg jetzt vor allem erst einmal, was Du verwenden darfst und wo Du hinwillst. Dann verstehst Du bestimmt auch, warum die Ungleichung direkt hier drüber das letzte ist, was Dir noch fehlt.
Und nebenbei: "voraus" schreibt man mit nur einem "r", auch in allen Zusammensetzungen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 02.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
> Sei n [mm]\in[/mm] N*. Dann gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^2[/mm] <= 2-1/n
> Ahoi,
> Ich hab versucht das mal über Induktion zu beweisen aber
> stoße da auf Probleme.
Hallo Yogi,
ich verspreche mir mehr von der Abschätzung
[mm]\frac{1}{i^2}<\frac{1}{i(i-1)}[/mm].
Der rechte Term ergibt wegen [mm]\frac{1}{i(i-1)}=\frac{1}{i-1}-\frac1i[/mm] bei der Summenbildung eine schöne Teleskopsumme, das Ganze funktioniert aber erst ab i=2.
Man kann deshalb ansetzen:
[mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^2=\bruch{1}{1^2}+\summe_{i=2}^{n} 1/i^2<1+\summe_{i=2}^{n} \frac{1}{i(i-1)}[/mm]
(und jetzt ran an die Teleskopsumme...)
Gruß Abakus
>
> Induktionshypothese:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^2[/mm] <= 2-1/n
> für n [mm]\in[/mm] N* (also natürliche Zahlen ohne null)
>
>
> Induktionsanfang:
> n=1
> dann ergibt sich:
> 1 <= 1 und das ist wahr.
>
> Induktionsschritt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} 1/i^2[/mm] <= 2-1/n+1
>
> Da müsste ich den linken Teilterm jetzt durch einen
> Ausdruck ohne Summe ersetzen um das auswerten zu können.
> Geht das irgendwie oder bin ich da auf der falschen
> Fährte mit dem Induktionsansatz?
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen
> Gruß
> Yogi
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