Beweis Winkelhalbierende < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Konstruktionsbeschreibung:
Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC. Zeichne den Umkreis des Dreiecks. Die Mittelsenkrechte m_AB der Seite c schneidet den Umkreis im Punkt P.
Zeige, dass CP die Winkelhalbierende von Gamma ist. |
Zur Konstruktionsbeschreibung möchte ich ergänzen: In der angebotenen Skizze ist ledigliche m_AB eingezeichnet, die den Kreis in P schneidet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für die Beweisführung habe ich mir bisher überlegt, dass ich von einem Sehnenviereck APBC ausgehen will. Somit ist die Strecke CP eine Diagonale und schneidet die andere Diagonale in S. Die Teildreiecke ASC und SBP sind ähnlich (hier fehlt mir die Beweisidee - ich "weiß es schlicht und ergreifend" :-( )
Nun hänge ich und weiß nicht, wie ich weiter verfahren soll.
Folgende Ideen habe ich noch, allerdings weiß ich nicht, wie ich sie verknüpfen soll.
- m_AB ist auch die Höhe im Teildreieck SPB
- in meinem Fall ist das Teildreieck ASC gleichschenklig (war in der Aufgabenstellung so gezeichnet) - darf ich damit etwas anfangen?! (ich könnte damit Winkelbeziehungen bzw. Scheitelwinkel finden)
Ich habe Winkelbeziehungen aufgeschrieben und hänge nun daran, die so zusammenzuführen, dass ich zeigen, dass gilt [mm] \gamma1 [/mm] = [mm] \gamma2 [/mm] und somit CP die Winkelhalbierende ist.
Gruß,
Student
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Do 28.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Konstruktionsbeschreibung:
> Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC. Zeichne den Umkreis des
> Dreiecks. Die Mittelsenkrechte m_AB der Seite c schneidet
> den Umkreis im Punkt P.
>
> Zeige, dass CP die Winkelhalbierende von Gamma ist.
>
>
> Zur Konstruktionsbeschreibung möchte ich ergänzen: In der
> angebotenen Skizze ist ledigliche m_AB eingezeichnet, die
> den Kreis in P schneidet.
Wenn ich mir mal eine Skizze mache, sieht das ganze so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Für die Beweisführung habe ich mir bisher überlegt, dass
> ich von einem Sehnenviereck APBC ausgehen will. Somit ist
> die Strecke CP eine Diagonale und schneidet die andere
> Diagonale in S. Die Teildreiecke ASC und SBP sind ähnlich
> (hier fehlt mir die Beweisidee - ich "weiß es schlicht und
> ergreifend" :-( )
Die Beiden Dreiecke stimmen im Winkel bei S überein und das Verhältnis
[mm] \frac{\overline{AS}}{\overline{CS}}=\frac{\overline{BS}}{\overline{PS}} [/mm] müsste beim Sehnenviereck gleich sein.
> Nun hänge ich und weiß nicht, wie ich weiter verfahren
> soll.
>
> Folgende Ideen habe ich noch, allerdings weiß ich nicht,
> wie ich sie verknüpfen soll.
> - m_AB ist auch die Höhe im Teildreieck SPB
Korrekt, damit kannst du die Gleichheit der Dreiecke AEP und BEP zeigen, und auch dass das Dreieck ABP gleichschenklig sein muss. (Mittelsenkrechte)
> - in meinem Fall ist das Teildreieck ASC gleichschenklig
> (war in der Aufgabenstellung so gezeichnet) - darf ich
> damit etwas anfangen?! (ich könnte damit Winkelbeziehungen
> bzw. Scheitelwinkel finden)
Davon kannst du nicht ausgehen.
> Ich habe Winkelbeziehungen aufgeschrieben und hänge nun
> daran, die so zusammenzuführen, dass ich zeigen, dass gilt
> [mm]\gamma1[/mm] = [mm]\gamma2[/mm] und somit CP die Winkelhalbierende ist.
Zeige doch mal diese Beziehungen.
>
>
> Gruß,
> Student
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Da wir gezeigt haben, dass die Teildreiecke aufgrund der Beziehungen des Stahlensatzes ähnlich sind, kann ich folgende Aussagen zu den Winkel treffen:
[mm] \gamma1 [/mm] = [mm] \gamma1 [/mm] (in den Teildreiecke)
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha [/mm] (aufgrund der Winkeltreue bei Ähnlichkeitsabbildungen)
weiter gibt es Scheitelwinkel an S
[mm] \beta [/mm] = [mm] \beta
[/mm]
m_AB bildet als Spiegelachse das Teildreieck AEP auf EPB ab
-> dadurch sind die Winkel im anderen Teildreieck kongruent
nun hänge ich am algebraischen Beweis, wie groß die Winkel im Teildreieck
BPS sind, da von diesem ausgehend ja durch den Strahlensatz die Ähnlichkeit bewiesen werden kann und somit gezeigt werden kann, dass der Winkel PBS = ACS (in deiner Skizze) womit durch die Gleichheit gezeigt wird, dass die Strecke CP nur die Winkelhalbierende sein kann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 28.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen des rechten Winkels bei S und SA=SB sind doch die Dreiecke ASP und BSP gleich also auch die Seiten AP=BP und damit die Sehnenwinkel über ihnen?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Do 28.07.2011 | | Autor: | abakus |
> Konstruktionsbeschreibung:
> Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC. Zeichne den Umkreis des
> Dreiecks. Die Mittelsenkrechte m_AB der Seite c schneidet
> den Umkreis im Punkt P.
>
> Zeige, dass CP die Winkelhalbierende von Gamma ist.
>
>
> Zur Konstruktionsbeschreibung möchte ich ergänzen: In der
> angebotenen Skizze ist ledigliche m_AB eingezeichnet, die
> den Kreis in P schneidet.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Für die Beweisführung habe ich mir bisher überlegt, dass
> ich von einem Sehnenviereck APBC ausgehen will. Somit ist
> die Strecke CP eine Diagonale und schneidet die andere
> Diagonale in S. Die Teildreiecke ASC und SBP sind ähnlich
> (hier fehlt mir die Beweisidee - ich "weiß es schlicht und
> ergreifend" :-( )
> Nun hänge ich und weiß nicht, wie ich weiter verfahren
> soll.
Viel zu kompliziert!
P halbiert den Bogen AB, also sind die Teilbögen AP und PB gleich lang.
Diesen beiden gleich langen Bögen sind gleich große Zentriwinkel AMP und PMB zugeordnet (M sei der Umkreismittelpunkt). Jeweils halb so groß (und damit einander gleich) sind die Peripheriewinkel ACP und PCB. Also wird der Winkel ACB durch CP halbiert.
Gruß Abakus
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> Folgende Ideen habe ich noch, allerdings weiß ich nicht,
> wie ich sie verknüpfen soll.
> - m_AB ist auch die Höhe im Teildreieck SPB
> - in meinem Fall ist das Teildreieck ASC gleichschenklig
> (war in der Aufgabenstellung so gezeichnet) - darf ich
> damit etwas anfangen?! (ich könnte damit Winkelbeziehungen
> bzw. Scheitelwinkel finden)
> Ich habe Winkelbeziehungen aufgeschrieben und hänge nun
> daran, die so zusammenzuführen, dass ich zeigen, dass gilt
> [mm]\gamma1[/mm] = [mm]\gamma2[/mm] und somit CP die Winkelhalbierende ist.
>
>
> Gruß,
> Student
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