Beweis Zeilenrang = Spaltenran < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 18.04.2010 | | Autor: | marteen |
Hallo,
es geht im im Betreff genannten Beweis. Prolog (müsst Ihr nicht lesen): Ich habe 3 Varianten - eine Indexschlacht, eine über den Dualraum (sehr kurz) und eine, wie ich finde, sehr elegante Variante von angela h.b (?). Da ich in einer Woche meine Zwischenprüfung absolviere und ich den Prüfer nicht in Richtung Dualraum schieben will (weil ich dieses Thema hasse wie die Pest), habe ich mich für die 3. Variante entschieden.
Zu dem Beweis: A sei eine mxn Matrix einer linearen Abbildung (die adequat definiert wird), f(x) := Ax.
Es gilt: dim Bild(f) = Spaltenrang A , dim Ker(f) = n - Zeilenrang A (*)
Somit folgt n= dim Ker(f) + dim Bild(f) = Spaltenrang A + n - Zeilenrang A
=> Spaltenrang A = Zeilenrang A
Der Punkt (*) macht mir Probleme - was ich weiß: Der Zeilenrang ist ja quasi die Anzahl der Zeilen, die nach Überführung in ZSF übrigbleiben (also die Anzahl der linear unabhängigen Spalten), das heißt in diesen Zeilen existieren ja Pivotköpfe, richtig? Und n ist die Anzahl der Spalten - warum ist dann der dim Ker(f) = n - Zeilenrang A ? Es wäre nett, wenn mir das jemand erläutern bzw. ausführen könnte.
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 So 18.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Der Punkt (*) macht mir Probleme - was ich weiß: Der
> Zeilenrang ist ja quasi die Anzahl der Zeilen, die nach
> Überführung in ZSF übrigbleiben (also die Anzahl der
> linear unabhängigen Spalten), das heißt in diesen Zeilen
> existieren ja Pivotköpfe, richtig? Und n ist die Anzahl
> der Spalten - warum ist dann der dim Ker(f) = n -
> Zeilenrang A ? Es wäre nett, wenn mir das jemand
Für jede Stufe in der ZSF, die ausgelassen wird (entspricht der Anzahl der 0-Zeilen), gewinnt der Kern 1 zusätzlichen Freiheitsgrad. Der Kern ist ja die Lösungsmenge des LGS
$(A\ |\ 0)$, bzw. $(Z\ |\ 0)$,
wenn Z eine ZSF von A ist. Du hast "Anzahl an nicht-0-Zeilen" (=Zeilenrang) Gleichungen für n Unbekannte.
ciao
Stefan
|
|
|
|
