Beweis: abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 20.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge [mm] G={x\in\IR | x>1} [/mm] mit der Operation [mm] aºb := a^{ln b} [/mm]. |
Hallo,
ich komme bei oben stehender Aufgabe nicht weiter. Da ich zeigen soll, dass es eine abelsche Gruppe ist, will ich zeigen: [mm] aºb=bºa [/mm]
Aber wie nehme ich das jetzt erstmal auseinander um a und b zu haben?
Danke!
Gruß Manu
PS: In der Aufgabe soll stehen "a (hoch) ln b", aber bei "ln b" wird das Leerzeichen immer ignoriert, was mach ich da falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Do 20.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]G={x\in\IR | x>1}[/mm] mit der
> Operation [mm]aºb := a^{ln b} [/mm].
> Hallo,
>
> ich komme bei oben stehender Aufgabe nicht weiter. Da ich
> zeigen soll, dass es eine abelsche Gruppe ist, will ich
> zeigen: [mm]aºb=bºa[/mm]
Hast du denn schon gezeigt, dass es eine Gruppe ist? Das gehört auch dazu.
> Aber wie nehme ich das jetzt erstmal auseinander um a und
> b zu haben?
[mm] $a^{ln(b)}=e^{ln(a)*ln(b)}=...$ [/mm] reicht als Tipp, oder?
> Danke!
>
> Gruß Manu
>
> PS: In der Aufgabe soll stehen "a (hoch) ln b", aber bei
> "ln b" wird das Leerzeichen immer ignoriert, was mach ich
> da falsch?
Nichts, schreibe mit Klammern: $ln(b)$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 20.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
erstmal danke für den Tipp, den versteh ich soweit. Nur komm ich trotzdem nicht drauf, was a und b jetzt sein sollen? Also klar ist mir, dass
[mm] a^{ln(b)}=e^{ln(a)*ln(b)}=e^{ln(b)*ln(a)}=b^{ln(a)} [/mm] ist.
Dass das ganze eine Gruppe ist, habe ich noch nicht gezeigt und weiß, ehrlich gesagt, auch nicht, wie ich da überhaupt ansetzen sollte... wenn ich da wieder einen Tipp bekommen würde, wäre das echt super!
Dankeschön!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> erstmal danke für den Tipp, den versteh ich soweit. Nur
> komm ich trotzdem nicht drauf, was a und b jetzt sein
> sollen?
Zahlen> 1
> Also klar ist mir, dass
> [mm]a^{ln(b)}=e^{ln(a)*ln(b)}=e^{ln(b)*ln(a)}=b^{ln(a)}[/mm] ist.
>
> Dass das ganze eine Gruppe ist, habe ich noch nicht gezeigt
> und weiß, ehrlich gesagt, auch nicht, wie ich da
> überhaupt ansetzen sollte... wenn ich da wieder einen Tipp
> bekommen würde, wäre das echt super!
Wie lauten denn die Gruppenaxiome ?
FRED
>
> Dankeschön!
>
> Gruß Manu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 20.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Also die Gruppenaxiome lauten:
- Es muss Assoziativität gelten, a*(b*c)=(a*b)*c
- Es gibt ein neutrales Element e, sodass e*a=a
- Es gibt ein inverses Element a' zu jedem a, sodass a*a'=e
- Für abelsche Gruppen muss zusätzlich Kommutativität gelten, a*b=b*a
Soweit korrekt? Wie mache ich damit weiter?
Gruß Manu
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Hallo,
etwas Wichtiges hast Du vergessen:
damit die Menge G mit der Verknüpfung * eine Gruppe ist, muß man sich vergewissern, daß die Verknüpfung aus 2 Elementen aus G wieder ein Element aus G macht, daß also für alle [mm] a,b\in [/mm] G gilt [mm] a*b\in [/mm] G.
> Also die Gruppenaxiome lauten:
> - Es muss Assoziativität gelten, a*(b*c)=(a*b)*c
für alle [mm] a,b,c\in [/mm] G
> - Es gibt ein neutrales Element e, sodass e*a=a
für alle [mm] a\in [/mm] G
> - Es gibt ein inverses Element a' zu jedem a, sodass
> a*a'=e
> - Für abelsche Gruppen muss zusätzlich Kommutativität
> gelten, a*b=b*a
für alle a,b [mm] \in [/mm] G.
>
> Soweit korrekt? Wie mache ich damit weiter?
Nun arbeitest Du das Punkt für Punkt für Deine Menge
[mm] G=\{x\in\IR | x>1\} [/mm] mit der Verknüpfung [mm] a\circ [/mm] b := [mm] a^{ln b} [/mm] f.a. [mm] a,b\in [/mm] G
ab.
1. Seien [mm] a,b\in [/mm] G.
Dann sind a,b>1, und es ist [mm] a\circ b=a^{ln(b)}>1, [/mm] denn a>1 und ln(b)>0 wegen b>1.
2.
Rechne nun vor, daß f.a. [mm] a,b,c\in [/mm] G gilt
[mm] (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ [/mm] c):
[mm] (a\circ b)\circ c=a^{ln(b)}\circ c=(a^{ln(b)})^{ln(c)}=...
[/mm]
[mm] a\circ (b\circ [/mm] c)= ...
3. Sei [mm] a\in [/mm] G.
Probiere nun geheim auf einem Zettel, welche Zahl x das neutrale Element ist, für welches x also gilt
[mm] x\cirx [/mm] a=a.
Wenn Du das herausgefunden hast, schreibe:
blabla ist das neutrale Element, denn [und jetzt rechneast Du vor, daß es tut, was es tun soll].
4. Sei [mm] a\in [/mm] G.
Auch hier probiere erstmal geheim, wie Du a' nehmen mußt, damit [mm] a\circ [/mm] a'=neutrales Element.
Dann sagst Du: "blingbling ist das inverse Element zu a, denn es ist [vorrechnen] "
5. Seien [mm] a,b\in [/mm] G.
Rechne nun halt vor, was [mm] a\circ [/mm] b ist und was [mm] b\circ [/mm] a und zeig, daß es gleich ist.
LG Angela
>
> Gruß Manu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine umfangreichen Erläuterungen.
Also bei Punkt 2 hab ich:
[mm] (a \circ b) \circ c = (a^{ln (b)})^{ln (c)} = a^{ln(b)*ln(c)} [/mm]
[mm] a \circ (b \circ c) = a^{(ln(b)^{ln(c)})} = a^{ln(b)*ln(c)} [/mm]
Da das gleich ist, wäre das also schonmal gezeigt.
Zu Punkt 3:
Das neutrale Element ist e, denn es soll sein [mm] x \circ a = x^{ln(a)} = a [/mm] und wenn x=e ist, dann hat man [mm] e^{ln(a)} = a [/mm]
Bei Punkt 4 komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich hierbei [mm] a^{ln(a')} = e [/mm] a' wählen soll... könnt ihr mir da bitte auf die Sprünge helfen? Also eigentlich isses ja nur die Gleichung umstellen, ich komme nur soweit: [mm] a = e^{\bruch{1}{ln(a')}} [/mm]
Danke!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mo 24.11.2014 | | Autor: | chrisno |
las das e, das rechts steht in Ruhe. schreibe wie vorher a hoch ... um in e hoch ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ich schaffs einfach nicht... wenn ich das e rechts in ruhe lasse, dann hab ich ja rechts, wenn ichs mit e umschreibe: [mm] e^{ln(a^{ln(a')})}.
[/mm]
Aber ich denke, dass ich da auf dem holzweg bin. Könntet ihr mir bitte noch weiter helfen?
Gruß Manu
Edit: Man kann es ja noch umschreiben in [mm] e^{ln(a')*ln(a)}, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mo 24.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich verstehe nicht, was Du rechnest. Die Regel lautet $a^x = e^{x \cdot \ln a\$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Also x = ln(a') und deswegen ist das ergebnis dann das, was ich in meinem Edit geschrieben hatte, also $ [mm] e^{ln(a')\cdot{}ln(a)}, [/mm] $, oder?
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mo 24.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> Also x = ln(a') und deswegen ist das ergebnis dann das, was
> ich in meinem Edit geschrieben hatte, also
> [mm]e^{ln(a')\cdot{}ln(a)}, [/mm], oder?
Das hatte ich nicht gesehen.
Du bist doch praktisch am Ziel:
[mm]e^{ln(a')\cdot{}ln(a)} = e^1[/mm]
Auf beiden Seiten ln anwenden.
Für mich ist es Zeit, Schluss zu machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Di 25.11.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ok, danke für die Mühe soweit, wenn ich auf beiden Seiten ln anwende und dann noch e komm ich auf das zu a inverse Element [mm] a'=e^{\bruch{1}{ln(a)}}, [/mm] müsste richtig sein, denn nachrechnen ergibt: $ [mm] a\circ [/mm] a'=e $. Also $ [mm] a\circ a'=a^{ln(e^\bruch{1}{ln(a)})}=a^{\bruch{1}{ln(a)}}=e [/mm] $ (Warum ist eigentlich $ [mm] x^{\bruch{1}{ln(x)}}=e [/mm] $ ? also wie formt man das wieder um? :p)
Jetzt habe ich also ingesamt gezeigt, dass es eine abelsche Gruppe ist, weil Assoziativität gilt, es ein neutrales Element gibt und auch ein inverses Element und Kommutativität liegt auch vor, da $ [mm] a\circ b=a^{ln(b)}=e^{ln(a)\cdot{}ln(b)}=e^{ln(b)\cdot{}ln(a)}=b^{ln(a)}=b\circ [/mm] a $, korrekt?
Vielen Dank für eure Mühe! Jetzt hab ich das alles soweit verstanden!
Gruß Manu
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