Beweis ad Topologischer Raum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Ein topologischer Raum (X,T) ist genau dann ein Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm] \Delta [/mm] := [mm] \{(x,x) : x \in X} [/mm] in X [mm] \times [/mm] X abgeschlossen (versehen mit der Produkttopologie) ist |
Also hier mein Ansatz:
Eigentlich kann ich mir die Produkttopologie sparen.
Die Aussage :
Ein topologischer Raum [mm] (X,\Tau) [/mm] ist genau dann ein Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm] \Delta [/mm] := [mm] \{(x,x) : x \in X} [/mm] in X [mm] \times [/mm] X abgeschlossen ist , sollte unabh. von der Topologie gelten.
oder?
Nun denn ich beginne mal:
[mm] "\rightarrow"
[/mm]
Sei a,b [mm] \not\in \Delta [/mm] so folgt [mm] \exists [/mm] A [mm] \in [/mm] U(a) und B [mm] \in [/mm] U(b) mit der Eigenschaft A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] insofern ( A [mm] \times [/mm] B ) [mm] \cap \Delta [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Nun aber auch:
Sei a [mm] \neq [/mm] b so ist natürlich (a,b) [mm] \not\in \Delta [/mm] wir ersehen wieder dass nun [mm] \exists [/mm] A [mm] \in [/mm] U(a) und B [mm] \in [/mm] U(b) mit ( A [mm] \times [/mm] B ) [mm] \cap \Delta [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
und somit A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] .
Klappt das so?
Lg und Dank
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:23 Mo 17.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
>
> Ein topologischer Raum (X,T) ist genau dann ein
> Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen (versehen mit der
> Produkttopologie) ist
>
> Also hier mein Ansatz:
>
> Eigentlich kann ich mir die Produkttopologie sparen.
Wie meinst Du das ?
>
> Die Aussage :
>
> Ein topologischer Raum [mm](X,\Tau)[/mm] ist genau dann ein
> Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen ist , sollte unabh. von der
> Topologie gelten.
>
> oder?
>
> Nun denn ich beginne mal:
>
> [mm]"\rightarrow"[/mm]
>
> Sei a,b [mm]\not\in \Delta[/mm]
Du meinst sicher (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
> so folgt [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B
> [mm]\in[/mm] U(b) mit der Eigenschaft A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] insofern
> ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
Mit U(a) meinst Du wohl die Menge der offenen Umgebungen von a (ebenso bei U(b))
Du hast also ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm] mit offenen Mengen A und B, wobei a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B.
Mal angenommen, A [mm]\times[/mm] B wäre offen in X [mm]\times[/mm] X.
Dann hättest Du gezeigt:
zu jedem (a,b) [mm] \in [/mm] (X [mm] \times [/mm] X) [mm] \setminus \Delta [/mm] ex. eine offene Umgebung V von (a,b) mit
V [mm] \subseteq [/mm] (X [mm] \times [/mm] X) [mm] \setminus \Delta.
[/mm]
Das würde bedeuten: (X [mm] \times [/mm] X) [mm] \setminus \Delta [/mm] ist offen, also [mm] \Delta [/mm] ist abgeschlossen.
Also bleibt die FRage: ist A [mm]\times[/mm] B offen in X [mm]\times[/mm] X ?
FRED
>
> Nun aber auch:
>
> Sei a [mm]\neq[/mm] b so ist natürlich (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm] wir
> ersehen wieder dass nun [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B [mm]\in[/mm] U(b)
> mit ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> und somit A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] .
>
> Klappt das so?
>
>
> Lg und Dank
>
>
> Thomas
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> > Zeigen Sie:
> >
> > Ein topologischer Raum (X,T) ist genau dann ein
> > Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> > in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen (versehen mit der
> > Produkttopologie) ist
> >
> > Also hier mein Ansatz:
> >
> > Eigentlich kann ich mir die Produkttopologie sparen.
>
>
> Wie meinst Du das ?
>
>
> >
> > Die Aussage :
> >
> > Ein topologischer Raum [mm](X,\Tau)[/mm] ist genau dann ein
> > Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> > in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen ist , sollte unabh. von der
> > Topologie gelten.
> >
> > oder?
> >
> > Nun denn ich beginne mal:
> >
> > [mm]"\rightarrow"[/mm]
> >
> > Sei a,b [mm]\not\in \Delta[/mm]
>
>
> Du meinst sicher (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
>
Ja (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
>
> > so folgt [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B
> > [mm]\in[/mm] U(b) mit der Eigenschaft A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] insofern
> > ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
>
>
> Mit U(a) meinst Du wohl die Menge der offenen Umgebungen
> von a (ebenso bei U(b))
Ganz richtig die offenen Umgebungen um a und um b bezeichnen U(a), U(b).
>
> Du hast also ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm] mit
> offenen Mengen A und B, wobei a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm] B.
>
>
> Mal angenommen, A [mm]\times[/mm] B wäre offen in X [mm]\times[/mm] X.
>
> Dann hättest Du gezeigt:
>
> zu jedem (a,b) [mm]\in[/mm] (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta[/mm] ex. eine
> offene Umgebung V von (a,b) mit
>
> V [mm]\subseteq[/mm] (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta.[/mm]
>
> Das würde bedeuten: (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta[/mm] ist
> offen, also [mm]\Delta[/mm] ist abgeschlossen.
genau
>
>
> Also bleibt die FRage: ist A [mm]\times[/mm] B offen in X [mm]\times[/mm] X
> ?
>
Hm natürlich das ergeht doch aus der Wahl der Umgebungen. A und B sind beide aus offenen Umgebungen also wieder offene Umgebungen der Punkte.
Insofern ist sowohl U(a) [mm] \times [/mm] U(b) offen als auch A [mm] \times [/mm] B offen.
oder fehlt es an was?
Lg und danke für die Rückmeldung
Thomas
> FRED
>
> >
> > Nun aber auch:
> >
> > Sei a [mm]\neq[/mm] b so ist natürlich (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm] wir
> > ersehen wieder dass nun [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B [mm]\in[/mm] U(b)
> > mit ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> > und somit A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] .
> >
> > Klappt das so?
> >
> >
> > Lg und Dank
> >
> >
> > Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 17.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Zeigen Sie:
> > >
> > > Ein topologischer Raum (X,T) ist genau dann ein
> > > Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> > > in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen (versehen mit der
> > > Produkttopologie) ist
> > >
> > > Also hier mein Ansatz:
> > >
> > > Eigentlich kann ich mir die Produkttopologie sparen.
> >
> >
> > Wie meinst Du das ?
> >
> >
> > >
> > > Die Aussage :
> > >
> > > Ein topologischer Raum [mm](X,\Tau)[/mm] ist genau dann ein
> > > Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> > > in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen ist , sollte unabh. von der
> > > Topologie gelten.
> > >
> > > oder?
> > >
> > > Nun denn ich beginne mal:
> > >
> > > [mm]"\rightarrow"[/mm]
> > >
> > > Sei a,b [mm]\not\in \Delta[/mm]
> >
> >
> > Du meinst sicher (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
> >
> Ja (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
> >
> > > so folgt [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B
> > > [mm]\in[/mm] U(b) mit der Eigenschaft A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] insofern
> > > ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> >
> >
> > Mit U(a) meinst Du wohl die Menge der offenen Umgebungen
> > von a (ebenso bei U(b))
>
> Ganz richtig die offenen Umgebungen um a und um b
> bezeichnen U(a), U(b).
> >
> > Du hast also ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm] mit
> > offenen Mengen A und B, wobei a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm] B.
> >
> >
> > Mal angenommen, A [mm]\times[/mm] B wäre offen in X [mm]\times[/mm] X.
> >
> > Dann hättest Du gezeigt:
> >
> > zu jedem (a,b) [mm]\in[/mm] (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta[/mm] ex. eine
> > offene Umgebung V von (a,b) mit
> >
> > V [mm]\subseteq[/mm] (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta.[/mm]
> >
> > Das würde bedeuten: (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta[/mm] ist
> > offen, also [mm]\Delta[/mm] ist abgeschlossen.
>
> genau
> >
> >
> > Also bleibt die FRage: ist A [mm]\times[/mm] B offen in X [mm]\times[/mm] X
> > ?
> >
> Hm natürlich das ergeht doch aus der Wahl der Umgebungen.
> A und B sind beide aus offenen Umgebungen
Was meinst Du mit "aus offenen Umgebungen" ?????
A und B sind offene Umgebungen von a bzw. b.
> also wieder
> offene Umgebungen der Punkte.
> Insofern ist sowohl U(a) [mm]\times[/mm] U(b) offen
Was soll das denn bedeuten ????
> als auch A
> [mm]\times[/mm] B offen.
Ja, genau darum gehts: ist A [mm] \times [/mm] B offen in der Produkttopologie von X [mm] \times [/mm] X ?
FRED
>
> oder fehlt es an was?
>
> Lg und danke für die Rückmeldung
>
> Thomas
> > FRED
> >
> > >
> > > Nun aber auch:
> > >
> > > Sei a [mm]\neq[/mm] b so ist natürlich (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm] wir
> > > ersehen wieder dass nun [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B [mm]\in[/mm] U(b)
> > > mit ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> > > und somit A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] .
> > >
> > > Klappt das so?
> > >
> > >
> > > Lg und Dank
> > >
> > >
> > > Thomas
> >
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> > > > Zeigen Sie:
> > > >
> > > > Ein topologischer Raum (X,T) ist genau dann ein
> > > > Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> > > > in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen (versehen mit der
> > > > Produkttopologie) ist
> > > >
> > > > Also hier mein Ansatz:
> > > >
> > > > Eigentlich kann ich mir die Produkttopologie sparen.
> > >
> > >
> > > Wie meinst Du das ?
> > >
> > >
> > > >
> > > > Die Aussage :
> > > >
> > > > Ein topologischer Raum [mm](X,\Tau)[/mm] ist genau dann ein
> > > > Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> > > > in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen ist , sollte unabh. von der
> > > > Topologie gelten.
> > > >
> > > > oder?
> > > >
> > > > Nun denn ich beginne mal:
> > > >
> > > > [mm]"\rightarrow"[/mm]
> > > >
> > > > Sei a,b [mm]\not\in \Delta[/mm]
> > >
> > >
> > > Du meinst sicher (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
> > >
> > Ja (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
> > >
> > > > so folgt [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B
> > > > [mm]\in[/mm] U(b) mit der Eigenschaft A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] insofern
> > > > ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> > >
> > >
> > > Mit U(a) meinst Du wohl die Menge der offenen Umgebungen
> > > von a (ebenso bei U(b))
> >
> > Ganz richtig die offenen Umgebungen um a und um b
> > bezeichnen U(a), U(b).
> > >
> > > Du hast also ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm] mit
> > > offenen Mengen A und B, wobei a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm] B.
> > >
> > >
> > > Mal angenommen, A [mm]\times[/mm] B wäre offen in X [mm]\times[/mm] X.
> > >
> > > Dann hättest Du gezeigt:
> > >
> > > zu jedem (a,b) [mm]\in[/mm] (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta[/mm] ex. eine
> > > offene Umgebung V von (a,b) mit
> > >
> > > V [mm]\subseteq[/mm] (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta.[/mm]
> > >
> > > Das würde bedeuten: (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta[/mm] ist
> > > offen, also [mm]\Delta[/mm] ist abgeschlossen.
> >
> > genau
> > >
> > >
> > > Also bleibt die FRage: ist A [mm]\times[/mm] B offen in X [mm]\times[/mm] X
> > > ?
> > >
> > Hm natürlich das ergeht doch aus der Wahl der Umgebungen.
> > A und B sind beide aus offenen Umgebungen
>
> Was meinst Du mit "aus offenen Umgebungen" ?????
>
> A und B sind offene Umgebungen von a bzw. b.
>
>
>
> > also wieder
> > offene Umgebungen der Punkte.
> > Insofern ist sowohl U(a) [mm]\times[/mm] U(b) offen
>
> Was soll das denn bedeuten ????
>
>
> > als auch A
> > [mm]\times[/mm] B offen.
>
> Ja, genau darum gehts: ist A [mm]\times[/mm] B offen in der
> Produkttopologie von X [mm]\times[/mm] X ?
>
Ja ist es. Weil:
A und B seien Umgebungen von (a,b) mit[mm] A \cap B = \emptyset[/mm]
So ist nach Definition der Produkttopologie A [mm] \times [/mm] B eine Umgebung von (a,b) und es gilt für beispielsweise alle (x,y) [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] B mit x [mm] \neq [/mm] y dass
A [mm] \times [/mm] B [mm] \cap \Delta [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] und A [mm] \times [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] X \ [mm] \Delta. [/mm] offen.
Richtig?
Lg Thomas
> FRED
> >
> > oder fehlt es an was?
> >
> > Lg und danke für die Rückmeldung
> >
> > Thomas
> > > FRED
> > >
> > > >
> > > > Nun aber auch:
> > > >
> > > > Sei a [mm]\neq[/mm] b so ist natürlich (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm] wir
> > > > ersehen wieder dass nun [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B [mm]\in[/mm] U(b)
> > > > mit ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> > > > und somit A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] .
> > > >
> > > > Klappt das so?
> > > >
> > > >
> > > > Lg und Dank
> > > >
> > > >
> > > > Thomas
> > >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 17.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Zeigen Sie:
> > > > >
> > > > > Ein topologischer Raum (X,T) ist genau dann ein
> > > > > Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> > > > > in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen (versehen mit der
> > > > > Produkttopologie) ist
> > > > >
> > > > > Also hier mein Ansatz:
> > > > >
> > > > > Eigentlich kann ich mir die Produkttopologie sparen.
> > > >
> > > >
> > > > Wie meinst Du das ?
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Die Aussage :
> > > > >
> > > > > Ein topologischer Raum [mm](X,\Tau)[/mm] ist genau dann ein
> > > > > Hausdorffraum wenn die Diagonale [mm]\Delta[/mm] := [mm]\{(x,x) : x \in X}[/mm]
> > > > > in X [mm]\times[/mm] X abgeschlossen ist , sollte unabh. von der
> > > > > Topologie gelten.
> > > > >
> > > > > oder?
> > > > >
> > > > > Nun denn ich beginne mal:
> > > > >
> > > > > [mm]"\rightarrow"[/mm]
> > > > >
> > > > > Sei a,b [mm]\not\in \Delta[/mm]
> > > >
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> > > > Du meinst sicher (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
> > > >
> > > Ja (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm]
> > > >
> > > > > so folgt [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B
> > > > > [mm]\in[/mm] U(b) mit der Eigenschaft A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] insofern
> > > > > ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Mit U(a) meinst Du wohl die Menge der offenen Umgebungen
> > > > von a (ebenso bei U(b))
> > >
> > > Ganz richtig die offenen Umgebungen um a und um b
> > > bezeichnen U(a), U(b).
> > > >
> > > > Du hast also ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm] mit
> > > > offenen Mengen A und B, wobei a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm] B.
> > > >
> > > >
> > > > Mal angenommen, A [mm]\times[/mm] B wäre offen in X [mm]\times[/mm] X.
> > > >
> > > > Dann hättest Du gezeigt:
> > > >
> > > > zu jedem (a,b) [mm]\in[/mm] (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta[/mm] ex. eine
> > > > offene Umgebung V von (a,b) mit
> > > >
> > > > V [mm]\subseteq[/mm] (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta.[/mm]
> > > >
> > > > Das würde bedeuten: (X [mm]\times[/mm] X) [mm]\setminus \Delta[/mm] ist
> > > > offen, also [mm]\Delta[/mm] ist abgeschlossen.
> > >
> > > genau
> > > >
> > > >
> > > > Also bleibt die FRage: ist A [mm]\times[/mm] B offen in X [mm]\times[/mm] X
> > > > ?
> > > >
> > > Hm natürlich das ergeht doch aus der Wahl der Umgebungen.
> > > A und B sind beide aus offenen Umgebungen
> >
> > Was meinst Du mit "aus offenen Umgebungen" ?????
> >
> > A und B sind offene Umgebungen von a bzw. b.
> >
> >
> >
> > > also wieder
> > > offene Umgebungen der Punkte.
> > > Insofern ist sowohl U(a) [mm]\times[/mm] U(b) offen
> >
> > Was soll das denn bedeuten ????
> >
> >
> > > als auch A
> > > [mm]\times[/mm] B offen.
> >
> > Ja, genau darum gehts: ist A [mm]\times[/mm] B offen in der
> > Produkttopologie von X [mm]\times[/mm] X ?
> >
> Ja ist es. Weil:
> A und B seien Umgebungen von (a,b) mit[mm] A \cap B = \emptyset[/mm]
>
> So ist nach Definition der Produkttopologie A [mm]\times[/mm] B eine
> Umgebung von (a,b) und es gilt für beispielsweise alle
> (x,y) [mm]\in[/mm] A [mm]\times[/mm] B mit x [mm]\neq[/mm] y dass
> A [mm]\times[/mm] B [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] und A [mm]\times[/mm] B [mm]\subseteq[/mm]
> X [mm]\times[/mm] X \ [mm]\Delta.[/mm] offen.
>
> Richtig?
Ja
FRED
>
> Lg Thomas
>
> > FRED
> > >
> > > oder fehlt es an was?
> > >
> > > Lg und danke für die Rückmeldung
> > >
> > > Thomas
> > > > FRED
> > > >
> > > > >
> > > > > Nun aber auch:
> > > > >
> > > > > Sei a [mm]\neq[/mm] b so ist natürlich (a,b) [mm]\not\in \Delta[/mm] wir
> > > > > ersehen wieder dass nun [mm]\exists[/mm] A [mm]\in[/mm] U(a) und B [mm]\in[/mm] U(b)
> > > > > mit ( A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\cap \Delta[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> > > > > und somit A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] .
> > > > >
> > > > > Klappt das so?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Lg und Dank
> > > > >
> > > > >
> > > > > Thomas
> > > >
> > >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Danke danke
Lg
Thomas
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