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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Di 01.12.2009 | | Autor: | saint |
| Aufgabe | Die Relation [mm] \cong [/mm] ist auf [mm] \IZ [/mm] definiert durch [mm] a\cong [/mm] b , falls a - b = 7k für ein [mm] k\in\IZ\sub [/mm] .
Zeigen Sie, dass [mm] \cong [/mm] eine Äquivalenzrelation ist. |
Hallo Zusammen!
Da ich mich (noch) nicht so wirlich mit Beweisen auskenne, würde ich das Ganze so versuchen:
Bedingung für Äquivalenzrelation:
a.) reflexiv
b.) symmetrisch
c.) transitiv
zu a.) Die Relation ist Reflexiv, da
(a,a) [mm] \in [/mm] R : [mm] \forall [/mm] a [mm] \in\IZ
[/mm]
a - a = 7k
a - a = 7 * 0 , wahr da 0 [mm] \in\IZ
[/mm]
zu b.) Die Relation ist symmetrisch, da
[mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in\IZ [/mm] : (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] R
a - b = 7k
b - a = 7 * (-k)
zu c.) Die Relation ist transitiv, da
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in\IZ [/mm] : (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] R.
a - b = 7k
b - c = 7k
a - c = 7k
Ich befürchte allerdings, dass dies überhaupt kein Beweis ist, was mich dann auch direkt zu der Frage führt, wie ich das korrekt beweise? Mit Zahlen als Bsp. würde ich selbst ausschliessen, da ich so nur einen Wiederspruch beweisen würde.
( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Relation [mm]\cong[/mm] ist auf [mm]\IZ[/mm] definiert durch [mm]a\cong[/mm] b ,
> falls a - b = 7k für ein [mm]k\in\IZ\sub[/mm] .
> Zeigen Sie, dass [mm]\cong[/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
> Hallo Zusammen!
> Da ich mich (noch) nicht so wirlich mit Beweisen auskenne,
> würde ich das Ganze so versuchen:
>
> Bedingung für Äquivalenzrelation:
> a.) reflexiv
> b.) symmetrisch
> c.) transitiv
>
> zu a.) Die Relation ist Reflexiv, da
> (a,a) [mm]\in[/mm] R : [mm]\forall[/mm] a [mm]\in\IZ[/mm]
> a - a = 7k
> a - a = 7 * 0 , wahr da 0 [mm]\in\IZ[/mm]
>
> zu b.) Die Relation ist symmetrisch, da
> [mm]\forall[/mm] (a,b) [mm]\in\IZ[/mm] : (a,b) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (b,a) [mm]\in[/mm]
> R
> a - b = 7k
> b - a = 7 * (-k)
>
> zu c.) Die Relation ist transitiv, da
> [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in\IZ[/mm] : (a,b) [mm]\in[/mm] R und (b,c) [mm]\in[/mm] R
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a,c) [mm]\in[/mm] R.
> a - b = 7k
> b - c = 7k
> a - c = 7k
>
>
> Ich befürchte allerdings, dass dies überhaupt kein Beweis
> ist, was mich dann auch direkt zu der Frage führt, wie ich
> das korrekt beweise?
Das war doch schon mal gar nicht schlecht. Schreib es so auf:
a) es gilt (a,a) $ [mm] \in [/mm] $ R $ [mm] \forall [/mm] $ a $ [mm] \in\IZ [/mm] $, denn a-a = 7*0 und 0 [mm] \in \IZ
[/mm]
b) Es gelte (a,b) $ [mm] \in [/mm] $ R , also gilt mit einem k [mm] \in \IZ: [/mm] a-b=7k. Dann ist b-a= 7(-k), folglich gilt (b,a) $ [mm] \in [/mm] $ R
c) Es gelte (a,b) $ [mm] \in [/mm] $ R und (b,c) $ [mm] \in [/mm] $ R . Dann gibt es k,m [mm] \in \IZ [/mm] mit
a-b = 7k und b-c = 7m
Dann ist a-c = a-b+b-c = 7k+7m= 7(k+m). Daher: (a,c) $ [mm] \in [/mm] $ R
> Mit Zahlen als Bsp. würde ich selbst
> ausschliessen, da ich so nur einen Wiederspruch
Widerspruch
FRED
> beweisen
> würde.
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> ( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. )
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Di 01.12.2009 | | Autor: | saint |
Dankeschön!
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