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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Kann mir jemand helfen?
Sei [mm] a_{n} [/mm] > 0 [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] konvergiert gegen a
Zu zeigen ist, dass dann auch [mm] \wurzel{a_{n}} [/mm] gegen a konvergiert.
Danke für alle Antworten. Komme da leider nicht drauf :(
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Hi,
also deine Folge [mm] a_{n}:= \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}, [/mm] welche gegen ein a konvergiert? (Konnte man nicht richtig lesen).
Ich würde vllt mit der Monotonie der Wurzel argumentieren: Salopp:
Da [mm] \wurzel{} [/mm] Monoton ist- [mm] \wurzel{a_{n+1}}\ge \wurzel{a_{n}} [/mm]
[mm] \forall [/mm] n, bleibt dieser Folge auch nichts anderes übrig als zu konvergieren.
Ist etwas oberflächlich, aber vllt ein brauchbarer Ansatz?!
Gruß
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Ich kann mir das so schwer vorstellen und finde auch keine anderen Beispiele, als dass der Bruch gegen 1 konvergiert und dann ist die Aussage trivial.
Kann mir jemand ein anderes Beispiel nennen?
"Gefühlt" sehe ich das so (von hinten aufgezogen):
1. Damit der Grenzwert von [mm] \wurzel{a_n} [/mm] überhaupt existieren kann, muss auch der Grenzwert von [mm] a_n [/mm] existieren.
2. Wenn der aber existiert, dann muss er natürlich gleich dem Grenzwert von [mm] a_{n+1} [/mm] sein.
3. Wenn das so ist, dann muss wegen der Grenzwertsätze der Quotient [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] gegen 1 konvergieren (die sind dann anwendbar, weil jeder Teil für sich dann konvergent ist).
4. Das müsste dann auch der Grenzwert der Wurzel sein, also ist a = 1.
Problem: Das sieht für mich formal noch nicht ausgereift aus....
lg weightgainer
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Hallo SolRakt!
> Hallo.
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> Kann mir jemand helfen?
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> Sei [mm]a_{n}[/mm] > 0 [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] konvergiert gegen a
>
> Zu zeigen ist, dass dann auch [mm]\wurzel{a_{n}}[/mm] gegen a
> konvergiert.
Ich vermute, dass sich hier hier ein Schreibfehler eingeschlichen hat,
da für [mm]a_n = n[/mm] zwar [mm]\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1[/mm] gilt, aber
$ [mm] \sqrt{a_n} [/mm] $ nicht konvergiert!
Es sollte wohl $ [mm] a_n^\frac{1}{n}$ [/mm] untersucht werden!
Dabei gibt es die Fälle
1) [mm] $a_n \rightarrow [/mm] b$, $b [mm] \in \mathbb{R}$
[/mm]
2) [mm] $a_n \rightarrow +\infty$
[/mm]
>
> Danke für alle Antworten. Komme da leider nicht drauf :(
>
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 23.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ne, ich hab nochmal nachgeschaut. Ich hatte mich nicht verschrieben. Auch wenn mir dein Argument logisch erscheint. Hmm...
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Hallo SolRakt,
> Ne, ich hab nochmal nachgeschaut. Ich hatte mich nicht
> verschrieben. Auch wenn mir dein Argument logisch
> erscheint. Hmm...
Na, wenn du dich wirklich nicht verschrieben hast, hast du nun ein wunderbares Gegenbsp. zur Aussage.
Also: Aussage widerlegt!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 23.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..aber die Aussage sollte stimmen. Ich werd meinen Übungsleiter mal drauf ansprechen. Ich schreib dann nochmal ;) Vllt habe ich ja auch wirklich was falsch mitbekommen.
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